2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{3}+{y}^{3}- 12x- 27y}$

■答

点 $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ で極小値 $3$\displaystyle{- 70}$ をとり，点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 3 $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{70}$ をとる．

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

与えられた関数を $3$\displaystyle{x,y}$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

とし，その解 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)}$ を求める．

更に

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)}$

をそれぞれ求め

$3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ D={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を $3$\displaystyle{x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}- 12x- 27y $ }$ $3$\displaystyle{=3{x}^{2}- 12}$

次に $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}- 12x- 27y $ }$ $3$\displaystyle{=3{y}^{2}- 27}$

両者を連立さる．

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}3{x}^{2}- 12=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $1$ & \vspace{6}\\ 3{y}^{2}- 27=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(1)から

$3$\displaystyle{3{x}^{2}- 12=0}$ ， $3$\displaystyle{3{x}^{2}=12}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{2}=4}$ ， $3$\displaystyle{x=\pm 2}$

次に(2)から

$3$\displaystyle{3{y}^{2}- 27=0}$ ， $3$\displaystyle{3{y}^{2}=27}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{2}=9}$ ， $3$\displaystyle{y=\pm 3}$

以上から極値をとる候補は $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ 2,- 3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ - 2,3 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ - 2,- 3 $ }$ の4点となる．

次に

をそれぞれ求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 3{x}^{2}- 12 $ }$ $3$\displaystyle{=6x}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 3{y}^{2}- 27 $ }$ $3$\displaystyle{=6y}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 3{x}^{2}- 12 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)$ における $3$A$ ， $3$D$ の値は

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{=6a}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{={0}^{2}- 6a\cdot 6b}$ $3$\displaystyle{=- 36ab}$

これを元に各点における $3$\displaystyle{A,D}$ を求める．

●点 $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot 2}$ $3$\displaystyle{=12}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=- 36\cdot 2\cdot 3}$ $3$\displaystyle{=- 216}$

となり $3$\displaystyle{A> 0,D< 0}$ から点 $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ で極小となる．

この点での値は

$3$\displaystyle{f $ 2,3 $ }$ $3$\displaystyle{={2}^{3}+{3}^{3}- 12\cdot 2- 27\cdot 3}$ $3$\displaystyle{=8+27- 24- 81}$ $3$\displaystyle{=- 70}$

●点 $3$\displaystyle{ $ 2,- 3 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot 2}$ $3$\displaystyle{=12}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=- 36\cdot 2\cdot $ - 3 $ }$ $3$\displaystyle{=216}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ 2,- 3 $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ - 2,3 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot $ - 2 $ }$ $3$\displaystyle{=- 12}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=- 36\cdot $ - 2 $ \cdot 3}$ $3$\displaystyle{=216}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ - 2,3 $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 3 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot $ - 2 $ }$ $3$\displaystyle{=- 12}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=- 36\cdot $ - 2 $ \cdot $ - 3 $ }$ $3$\displaystyle{=- 216}$

となり， $3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ から点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 3 $ }$ で極大となる．

この点での値は

$3$\displaystyle{f $ - 2,- 3 $ }$ $3$\displaystyle{={ $ - 2 $ }^{3}+{ $ - 3 $ }^{3}- 12\cdot $ - 2 $ - 27\cdot $ - 3 $ }$ $3$\displaystyle{=- 8- 27+24+81}$ $3$\displaystyle{=70}$

以上からこの関数は点 $3$\displaystyle{ $ 2,3 $ }$ で極小値 $3$\displaystyle{- 70}$ をとり，点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 3 $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{70}$ をとる．

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最終更新日： 2024年5月28日