偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

$3$\displaystyle{z=\log \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }\text{\hspace{1} }}$ ならば $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2z } \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ である．

■ヒント

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2z } \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ の右辺と左辺をそれぞれ式変形し同じ形になることを示す．

左辺は， $3$\displaystyle{ z\text{\hspace{1} } }$ を $3$\displaystyle{ x\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y\text{\hspace{1} } }$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．このとき，合成関数の微分を用いる．

右辺は， $3$\displaystyle{z=\log \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }\text{\hspace{1} }}$ を代入し，対数の性質と累乗根の性質を利用して変換した後，指数関数の底の変換を行う．

■解説

[1] 左辺に関して

$3$\displaystyle{u={x}^{2}+{y}^{2}\text{\hspace{1} }}$ とおくと

$3$\displaystyle{z=\log { $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log u}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2u \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 $ {x}^{2}+{y}^{2} $ \hspace{2}}}$ 　　(対数の微分を参照)

まず， $3$\displaystyle{u}$ を $3$\displaystyle{x}$ で偏微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=2x}$

合成関数の微分より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 $ {x}^{2}+{y}^{2} $ \hspace{2}}\cdot 2x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}}$

次に， $3$\displaystyle{u}$ を $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ で偏微分すると，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=2y}$

合成関数の微分より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2 $ {x}^{2}+{y}^{2} $ \hspace{2}}\cdot 2y}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}}$

よって，左辺は

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{={ $ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(1)

[2]右辺に関して

$3$\displaystyle{z=\log \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }\text{\hspace{1} }}$ より

$3$\displaystyle{{e}^{ 2z }={e}^{ 2\log \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } }}$

対数の性質より

$3$\displaystyle{={e}^{ \log { $ \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} } $ }^{2} }}$

$3$\displaystyle{={e}^{ \log $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }}$

指数と対数の関係より

$3$\displaystyle{={x}^{2}+{y}^{2}}$

よって，右辺は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2z } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+{y}^{2} \hspace{2}}}$ 　　･･････(2)

(1)，(2) より，

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2z } \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$

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最終更新日： 2023年8月25日