偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{y}}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=y{x}^{ y- 1 } }$ ， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}={x}^{y}\log x }$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

$3$\displaystyle{z={x}^{y}}$ とおく．

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x\text{\hspace{1}\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=y{x}^{ y- 1 }}$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ で微分する．底を $3$e$ に変換してから偏微分する（ここを参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{e}^{ \log {x}^{y} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{e}^{ y\log x }}$

$3$\displaystyle{={e}^{ y\log x }\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}y\log x}$

$3$\displaystyle{={e}^{ y\log x }\cdot \log x}$

$3$\displaystyle{={x}^{y}\log x}$

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最終更新日： 2023年8月24日