合成関数の偏微分

■問題

$3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ , $3$\displaystyle{x=u\cos \alpha - v\sin \alpha }$ , $3$\displaystyle{y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ ならば

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{={ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} $ }^{2}}$

となることを示せ．

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

●参考

$3$\displaystyle{x=u\cos \alpha - v\sin \alpha }$ , $3$\displaystyle{y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ の変換を行列を使って表すと

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} u\cos \alpha - v\sin \alpha & \vspace{6}\\ u\sin \alpha +v\cos \alpha & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \cos \alpha & - \sin \alpha & \vspace{6}\\ \sin \alpha & \cos \alpha & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)={\left({ \begin{array} \cos \alpha & - \sin \alpha & \vspace{6}\\ \sin \alpha & \cos \alpha & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}^{ - 1 }\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \cos \alpha & \sin \alpha & \vspace{6}\\ - \sin \alpha & \cos \alpha & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \cos \left({ - \alpha }\right) & - \sin \left({ - \alpha }\right) & \vspace{6}\\ \sin \left({ - \alpha }\right) & \cos \left({ - \alpha }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

杜なる．すなわち， $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ から $3$\displaystyle{\left({ u,v }\right)}$ の変数変換は，幾何学的にいうと $3$z$ 軸を回転の中心として原点を中心として $3$ - \alpha$ 回転したものになる．2次元回転行列を参照．

■解答

$3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{u\text{\hspace{1} }}$ で合成関数の偏微分をすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\cos \alpha +\hspace{1}{f}_{y}\sin \alpha }$

となる．

同様に， $3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{v\text{\hspace{1} }}$ で合成関数の偏微分をすると

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x} $ - \sin \alpha $ +\hspace{1}{f}_{y}\cos \alpha }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{y}\cos \alpha - \hspace{1}{f}_{x}\sin \alpha }$

したがって

$3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{={ $ \hspace{1}{f}_{x}\cos {\alpha}+\hspace{1}{f}_{y}\sin {\alpha} $ }^{2}+{ $ \hspace{1}{f}_{y}\cos {\alpha}- \hspace{1}{f}_{x}\sin {\alpha} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{= $ f_{x}^{2}{ \cos }^{2}{\alpha}+2\hspace{1}{f}_{x}\hspace{1}{f}_{y}\sin {\alpha}\cos {\alpha}+f_{y}^{2}{ \sin }^{2}{\alpha} $ }$ $3$\displaystyle{+ $ f_{y}^{2}{ \cos }^{2}{\alpha}- 2\hspace{1}{f}_{x}\hspace{1}{f}_{y}\sin {\alpha}\cos {\alpha}+f_{x}^{2}{ \sin }^{2}{\alpha} $ }$

$3$\displaystyle{=f_{x}^{2}{\cos }^{2}{\alpha}+2\hspace{1}{f}_{x}\hspace{1}{f}_{y}\sin {\alpha}\cos {\alpha}+f_{y}^{2}{\sin }^{2}{\alpha}}$ $3$\displaystyle{+f_{y}^{2}{\cos }^{2}{\alpha}- 2\hspace{1}{f}_{x}\hspace{1}{f}_{y}\sin {\alpha}\cos {\alpha}+f_{x}^{2}{\sin }^{2}{\alpha}}$

$3$\displaystyle{= $ { \sin }^{2}{\alpha}+{ \cos }^{2}{\alpha} $ f_{x}^{2}+ $ { \sin }^{2}{\alpha}+{ \cos }^{2}{\alpha} $ f_{y}^{2}}$

$3$\displaystyle{=f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}$

$3$\displaystyle{={ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}}$

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学生スタッフ作成

2023年8月29日