合成関数の偏導関数の導出

2変数関 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ で $3$\displaystyle{ x={\varphi} $ u,v $ }$ , $3$\displaystyle{ y={\psi} $ u,v $ }$ ならば，偏導関数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}}$

となる．

■導出　⇒別法

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u+h,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\varphi} $ u,v $ \) \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u+h,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) +f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u+h,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{+{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ 　･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(1)の右辺第1項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u+h,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

ここで

$3$\displaystyle{ {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ =i }$ とおくと, $3$\displaystyle{ {\varphi} $ u+h,v $ ={\varphi} $ u,v $ +i=x+i }$

$3$\displaystyle{ h\rightarrow 0 }$ ならば $3$\displaystyle{ i\rightarrow 0 }$ となる．

また，

$3$\displaystyle{{\psi} $ u,v $ =y}$ であることより $3$\displaystyle{ h\rightarrow 0 }$ ならば $3$\displaystyle{{\psi} $ u+h,v $ \rightarrow y}$ となる．

よって

(1)の右辺第1項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ i\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+i, {\psi} \( u+h,v $ \) - f $ x, {\psi} \( u+h,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2}i\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\varphi} $ u+h,v $ - {\varphi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$

(1)の右辺第2項を考える．

(1)の右辺第2項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u+h,v $ \) - f $ {\varphi} \( u,v $ ,{\psi} $ u,v $ \) \hspace{2}}{\hspace{2} {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

ここで

$3$\displaystyle{ {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ =j }$ とおくと， $3$\displaystyle{ {\psi} $ u+h,v $ ={\psi} $ u,v $ +j=y+j }$

$3$\displaystyle{ h\rightarrow 0 }$ ならば $3$\displaystyle{ j\rightarrow 0 }$ となる．さらに $3$\displaystyle{ {\varphi} $ u,v $ =x}$ であることより

(1)の右辺第2項 $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x,y+j $ - f $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\psi} $ u+h,v $ - {\psi} $ u,v $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$

以上より

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2026年4月2日

合成関数の偏導関数の導出

■導出 ⇒別法

■導出　⇒別法