合成関数の偏導関数の導出

2変数関数 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ で $3$\displaystyle{ x={\varphi} $ u,v $ }$ , $3$\displaystyle{ y={\psi} $ u,v $ }$ ならば，偏導関数 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}}$

となる．

■導出

変数 $3$\displaystyle{u}$ の値が $3$\displaystyle{{\Delta}u}$ 変化すると，変数 $3$\displaystyle{x}$ と変数 $3$\displaystyle{y}$ がそれぞれ $3$\displaystyle{{\Delta}x}$ ， $3$\displaystyle{{\Delta}y}$ に変化し， $3$\displaystyle{z}$ の変数が $3$\displaystyle{{\Delta}z}$ 変化する．

曲面 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ は $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ の近傍( $3$\displaystyle{{\Delta}x}$ と $3$\displaystyle{{\Delta}y}$ の値が小さいとき)では平面とみなすことができる．

よって

$3$\displaystyle{{\Delta}z=\hspace{1}{f}_{x}{\Delta}x+\hspace{1}{f}_{y}{\Delta}y}$

となる（ここを参照）．したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {\Delta}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x}{\Delta}x+\hspace{1}{f}_{y}{\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}u\rightarrow 0 } $ \hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\Delta}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2023年1月21日