偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2} x+y \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2y \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1}},\hspace{5}\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}} }$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は商の導関数の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1\cdot $ x+y $ - $ x- y $ \cdot 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x+y- x+y \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2y \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 1\cdot $ x+y $ - $ x- y $ \cdot 1 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - x- y- x+y \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2x \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+y $ }^{2} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2018年10月31日