合成関数の2次偏導関数

■問題

$3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }x=t- \sin t\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y=1- \cos t\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ のとき， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {d}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ yy }{ $ 1- \cos t $ }^{2}+2\hspace{1}{f}_{ xy } $ 1- \cos t $ \sin t}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{f}_{ yy }{\sin }^{2}t+\hspace{1}{f}_{x}\sin t+\hspace{1}{f}_{y}\cos t}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ を $3$\displaystyle{t}$ で2回微分する．求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に代入する．

■解説

$3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{t}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=1- \cos t}$

これを更に $3$\displaystyle{t}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} $ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ 1- \cos t $ }$ $3$\displaystyle{=\sin t}$

同様の手順で $3$\displaystyle{y}$ を $3$\displaystyle{t}$ で2階微分をすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\sin t}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ =\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ \sin t $ =\cos t}$

となる．

以上より，合成関数の2次偏導関数は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}=\hspace{1}{f}_{ xx }{ $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ }^{2}+2\hspace{1}{f}_{ xy }\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{ yy }{ $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}} $ }^{2}+\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} {d}^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{t}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{ xx }{ $ 1- \cos t $ }^{2}+2\hspace{1}{f}_{ xy } $ 1- \cos t $ \sin t+\hspace{1}{f}_{ yy }{\sin }^{2}t+\hspace{1}{f}_{x}\sin t+\hspace{1}{f}_{y}\cos t}$

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最終更新日： 2023年8月29日