3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $3$x$ 切片が $3$- 3$ ， $3$- 1$ , $3$2$ , $3$y$ 切片が $3$- 2$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ x+3 }\right)\left({ x+1 }\right)\left({ x- 2 }\right)}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

$3$x$ 切片が $3$- 3$ ， $3$- 1$ , $3$2$ より，3次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a\left({ x+3 }\right)\left({ x+1 }\right)\left({ x- 2 }\right)}$ 　･･････(1)

ただし， $3$a$ は定数

と表される．

$3$y$ 切片が $3$- 2$ より，(1)に $3$x=0$ ， $3$y=- 2$ を代入する．

$3$\displaystyle{- 2=a\left({ 0+3 }\right)\left({ 0+1 }\right)\left({ 0- 2 }\right)}$

$3$\displaystyle{- 2=- 6a}$

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ x+3 }\right)\left({ x+1 }\right)\left({ x- 2 }\right)}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$3$x$ 切片が $3$- 3$ ， $3$- 1$ , $3$2$ , $3$y$ 切片が $3$- 2$ より，以下の連立方程式が成り立つ．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}- 27a+9b- 3c+d=0& \vspace{6}\\ - a+b- c+d=0& \vspace{6}\\ 8a+4b+2c+d=0& \vspace{6}\\ d=- 2& \vspace{6}\\ \end{array}}$	･･････(5)
	･･････(6)
	･･････(7)
	･･････(8)

この連立方程式を解く

（5)，(6)，(7)に(8)を代入する．

$3$\displaystyle{- 27a+9b- 3c- 2=0}$ 　･･････(10)

$3$\displaystyle{- a+b- c- 2=0}$ 　･･････(11)

$3$\displaystyle{8a+4b+2c- 2=0}$ 　･･････(12)

(10)-(11)×2より

$3$\displaystyle{- 24a+6b+4=0}$ 　･･････(13)

(12)+(11)×2より

$3$\displaystyle{6a+6b- 6=0}$ 　･･････(14)

(14)-(13)より

$3$\displaystyle{30a- 10=0}$

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(15)

(15)を(14)に代入する．

$3$\displaystyle{6\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+6b- 6=0}$

$3$\displaystyle{b=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(16)

(15)，(16)を(11)に代入する．

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- c- 2=0}$

$3$\displaystyle{c=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(17)

(15)，(16)，(17)，(8)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2}- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x- 2}$ 　･･････(18)

(18)が求める3次関数である．(18)を因数分解すると(3)になる．

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最終更新日： 2025年10月25日