3次関数のグラフ

3次関数を表す一般式は

$3$\displaystyle{ y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d }$ ･･････(1)

である．

⇒ $3$x$ 軸との交差の仕方による分類

⇒導関数の判別式による分類

■3次関数のグラフ

下のグラフは(1)の3次関数のグラフを描いたものである．3次関数の係数 $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ ， $3$d$ を右上のスライダー用いて変化させるとグラフが変化する．

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■ $3$x$ 軸との交差の仕方による分類

3次関数のグラフは少なくとも $3$x$ 軸と1点で交差する．その交差点を $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ とすると3次関数は

$3$\displaystyle{ y=a\left({ x- \alpha }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right) }$ ･･････(2)

と表される．3次関数の特徴を $3$\displaystyle{{x}^{2}+bx+c=0}$ の判別式の値で分類する．

● $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4c> 0}$ ，異なる実数解 $3${\beta}$ ， $3${\gamma}$ （ただし， $3$\displaystyle{{\beta}\neq \alpha }$ ， $3$\displaystyle{{\gamma}\neq \alpha }$ ）を持つ場合

3次関数は $3$x$ 軸と3点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ {\beta},0 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ {\gamma},0 }\right)}$ で交差する．(2)は以下のようになる．

$3$\displaystyle{y=a\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)\left({ x- {\gamma} }\right)}$ ･･････(3)

$3$a$ ， $3$\alpha$ ， $3${\beta}$ ， $3${\gamma}$ は定数．ただし， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ ， $3$\alpha \neq {\beta}$ ， $3${\beta}\neq {\gamma}$ ， $3${\gamma}\neq \alpha$

● $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4c=0}$ ，重解 $3${\beta}$ を持つ場合

$3$\displaystyle{{\beta}\neq \alpha }$ のとき
$3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ で交差し，点 $3$\displaystyle{\left({ {\beta},0 }\right)}$ で接する．(2)は以下のようになる．

$3$\displaystyle{y=a\left({ x- \alpha }\right){\left({ x- {\beta} }\right)}^{2}}$ ･･････(4)

$3$a$ ， $3$\alpha$ ， $3${\beta}$ は定数．ただし， $3$\displaystyle{a\neq 0}$ ， $3$\alpha \neq {\beta}$

(4)の導関数を求める．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=a{\left({ x- \alpha }\right)}^{\prime }{\left({ x- {\beta} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+a\left({ x- \alpha }\right){\left{{ { \left({ x- {\beta} }\right) }^{2} }\right}}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=a{\left({ x- {\beta} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+a\left({ x- \alpha }\right)\cdot 2\left({ x- {\beta} }\right)}$

$3$\displaystyle{=a\left({ x- {\beta} }\right)\left{{ \left({ x- {\beta} }\right)+2\left({ x- \alpha }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=a\left({ x- {\beta} }\right)\left({ 3x- 2\alpha - {\beta} }\right)}$ ･･････(5)

したがって， $3$\displaystyle{x={\beta}}$ で $3$\displaystyle{y=0}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ より，点 $3$\displaystyle{\left({ {\beta},0 }\right)}$ で $3$x$ 軸と接する．
$3$\displaystyle{{\beta}=\alpha }$ のとき
$3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ で交差するが，点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ における接線の傾きはゼロになっている．(2)は以下のようになる．

$3$\displaystyle{y=a{\left({ x- \alpha }\right)}^{3}}$ ･･････(6)

$3$a$ ， $3$\alpha$ は定数．ただし， $3$\displaystyle{a\neq 0}$

(6)の導関数，第2次導関数を求める．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=3a{\left({ x- \alpha }\right)}^{2}}$ ･･････(7)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=6a\left({ x- \alpha }\right)}$ ･･････(8)

したがって， $3$\displaystyle{x=\alpha }$ で $3$\displaystyle{y=0}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=0}$ より，点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ は変曲点で $3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ で交差するが，点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ における接線の傾きはゼロになっている．

● $3$\displaystyle{D={b}^{2}- 4c< 0}$ ，実数解を持たない場合

$3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{\left({ \alpha ,0 }\right)}$ で交差する．(2)は以下のようになる．

$3$\displaystyle{y=a\left({ x- \alpha }\right)\left({ {x}^{2}+bx+c }\right)}$ ･･････(6)

$3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ ， $3$\alpha$ は定数．ただし， $3$\displaystyle{a\neq 0}$

下のグラフは以下の3つの関数のグラフを描いたものである．3次関数の係数 $3$a$ ， $3$e$ ， $3$f$ ， $3$g$ を右上のスライダー用いて変化させるとグラフが変化する．

緑線： $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{1}=a\left({ x- e }\right)}$ ･･････(7)

青線： $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{2}=\left{{ { \left({ x- f }\right) }^{2}+g }\right}}$ ･･････(8)

赤線： $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{y}_{1}\cdot \hspace{1}{y}_{2}}$ $3$\displaystyle{=a\left({ x- e }\right)\left{{ { \left({ x- f }\right) }^{2}+g }\right}}$ ･･････(9)

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■導関数の判別式による分類

$3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={f}^{\prime }\left({x}\right)=3a{x}^{2}+2bx+c}$

$3$\displaystyle{=3a\left({ {x}^{2}+\frac{\hspace{2} 2b \hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}x }\right)+c}$

$3$\displaystyle{=3a\left{{ {x}^{2}+\frac{\hspace{2} 2b \hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}x+{ \left({ \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}- { \left({ \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2} }\right}+c}$

$3$\displaystyle{=3a{\left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}^{2}- 3a{\left({ \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}^{2}+c}$

$3$\displaystyle{=3a{\left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}^{2}- \frac{\hspace{2} {b}^{2}- 3bc \hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }={f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=6ax+2b}$ $3$\displaystyle{=6a\left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}$

導関数の判別式 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}={b}^{2}- 3ac}$ で3次関数グラフの特徴を分類する.

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}={b}^{2}- 3ac> 0}$ ，導関数が異なる実数解 $3$\displaystyle{\alpha =\frac{\hspace{2} - b- \sqrt{ {b}^{2}- 3bc } \hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}=\frac{\hspace{2} - b+\sqrt{ {b}^{2}- 3bc } \hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}}$ を持つ場合： $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=3a\left({ x- \alpha }\right)\left({ x- {\beta} }\right)}$

$3$\displaystyle{x=\alpha ,{\beta}}$ で極値を持つ．点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ は変曲点．

◆ $3$a> 0$ ， $3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$\alpha$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\beta}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$-$	$3$-$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$	$3$+$	$3$+$
$3$y$		極大値		$3$ f\left({{\mu}}\right)$		極小値

◆ $3$\displaystyle{ a< 0 }$ ， $3$\displaystyle{\alpha < {\beta}}$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3$\alpha$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\beta}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$	$3$+$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$+$	$3$+$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$	$3$-$	$3$-$
$3$y$		極小値		$3$ f\left({{\mu}}\right)$		極大値

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}={b}^{2}- 3ac=0}$ ，導関数が重解 $3$\displaystyle{{\mu}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}}$ を持つ場合： $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=3a{\left({ x- {\mu} }\right)}^{2}}$

極値を持たない．点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ は変曲点．

◆ $3$a> 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$+$	$3$0$	$3$+$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$
$3$y$		$3$ f\left({{\mu}}\right)$

◆ $3$\displaystyle{a< 0}$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$-$	0	$3$-$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$
$3$y$		$3$ f\left({{\mu}}\right)$

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}={b}^{2}- 3ac< 0}$ ，導関数が実数解を持たない場合

極値を持たない．点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ は変曲点．

◆ $3$a> 0$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$+$	$3$+$	$3$+$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$-$	$3$\displaystyle{0}$	$3$+$
$3$y$		$3$ f\left({{\mu}}\right)$

◆ $3$\displaystyle{a< 0}$ とすると増減表は以下のようになる．

$3$x$	$3$\displaystyle{\cdots }$	$3${\mu}$	$3$\displaystyle{\cdots }$
$3${y}^{\prime }$	$3$-$	$3$-$	$3$-$
$3${y}^{\prime\prime }$	$3$+$	$3$\displaystyle{0}$	$3$-$
$3$y$		$3$ f\left({{\mu}}\right)$

■点対称のグラフ

$3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$ のグラフは，変曲点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ に関して対称(点対称)である．⇒証明

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最終更新日： 2025年4月27日

3次関数のグラフ

■3次関数のグラフ

■ 軸との交差の仕方による分類

● ，異なる実数解 ， （ただし， ， ）を持つ場合

● ，重解 を持つ場合

● ，実数解を持たない場合