3次関数が点対称であることの証明

3次関数 $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$ は，変曲点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ に関して対称(点対称)である．ただし， $3$\displaystyle{{\mu}=- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}}$

■証明

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={f}^{\prime }\left({x}\right)=3a{x}^{2}+2bx+c}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }={f}^{\prime\prime }\left({x}\right)=6ax+2b}$ $3$\displaystyle{=6a\left({ x+\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}$

よって，点 $3$\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)$ は変曲点となる．

3次関数 $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ のグラフ上の点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu}+{\lambda},f\left({ {\mu}+{\lambda} }\right) }\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu}- {\lambda},f\left({ {\mu}- {\lambda} }\right) }\right)}$ の中点が $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ になっていればよい．以下にそのことを示す.

$3$\displaystyle{f\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)}$ $3$\displaystyle{=a{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)}^{3}+b{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)}^{2}+c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)+d}$

$3$\displaystyle{=a\left{{ { \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{3}+3{ \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}{\lambda}+3\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right){{\lambda}}^{2}+{{\lambda}}^{3} }\right}}$ $3$\displaystyle{+b\left{{ { \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}+2\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right){\lambda}+{{\lambda}}^{2} }\right}}$ $3$\displaystyle{+c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)+d}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{f\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right)}$ $3$\displaystyle{=a{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right)}^{3}+b{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right)}^{2}+c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right)+d}$

$3$\displaystyle{=a\left{{ { \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{3}- 3{ \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}{\lambda}+3\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right){{\lambda}}^{2}- {{\lambda}}^{3} }\right}}$ $3$\displaystyle{+b\left{{ { \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}- 2\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right){\lambda}+{{\lambda}}^{2} }\right}}$ $3$\displaystyle{+c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right)+d}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ f\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}+{\lambda} }\right)+f\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}}- {\lambda} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ 2a{ \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{3}+6a\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right){{\lambda}}^{2}+2b{ \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right) }^{2}+2b{{\lambda}}^{2}+2c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)+2d }\right}}$

$3$\displaystyle{=a{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}^{3}+b{\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}^{2}+c\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)+d}$

$3$\displaystyle{=f\left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 3a \hspace{2}} }\right)}$

したがって

点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu}+{\lambda},f\left({ {\mu}+{\lambda} }\right) }\right)}$ と点 $3$\displaystyle{\left({ {\mu}- {\lambda},f\left({ {\mu}- {\lambda} }\right) }\right)}$ の中点は $3$\displaystyle{\left({ {\mu},f\left({{\mu}}\right) }\right)}$ である．

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最終更新日： 2025年4月27日