3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{ \left({ - 2,0 }\right) }$ で交わり，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,0 }\right)}$ で接し， $3$y$ 切片が $3$3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left({ x+2 }\right){\left({ x- 3 }\right)}^{2}}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

3次関数のフラフが $3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{ \left({ - 2,0 }\right) }$ で交わり，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,0 }\right)}$ で接することより，3次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a\left({ x+2 }\right){\left({ x- 3 }\right)}^{2}}$

ただし， $3$a$ は定数

と表される．

$3$y$ 切片が $3$3$ より，(1)に $3$x=0$ ， $3$y=3$ を代入する．

$3$\displaystyle{3=a\left({ 0+2 }\right){\left({ 0- 3 }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{3=18a}$

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left({ x+2 }\right){\left({ x- 3 }\right)}^{2}}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$3$x$ 軸と点 $3$\displaystyle{ \left({ - 2,0 }\right) }$ で交わり，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,0 }\right)}$ で接し， $3$y$ 切片が $3$3$ であることより，以下の連立方程式が成り立つ．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}- 8a+4b- 2c+d=0& \vspace{6}\\ 27a+9b+3c+d=0& \vspace{6}\\ d=3& \vspace{6}\\ \end{array}}$	･･････(5)
	･･････(6)
	･･････(7)

また，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,0 }\right)}$ で接することより，点 $3$\displaystyle{\left({ 3,0 }\right)}$ での接線の傾きがゼロである．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=3a{x}^{2}+2bx+c}$ 　　･･････(8)

より，以下の方程式が成り立つ．

$3$\displaystyle{27a+6b+c=0}$ 　　･･････(9)

（5)，(6)，(7)，(9)からなる連立方程式を解く．

（5)，(6)に(7)を代入する．

$3$\displaystyle{- 8a+4b- 2c+3=0}$ 　･･････(10)

$3$\displaystyle{27a+9b+3c+3=0}$ 　･･････(11)

(10)×3＋(11)×2より

$3$\displaystyle{30a+30b+15=0}$

$3$\displaystyle{2a+2b+1=0}$ 　･･････(12)

(9)×2+(10)より

$3$\displaystyle{46a+16b+3=0}$ 　･･････(13)

(14)-(12)×8より

$3$\displaystyle{30a- 5=0}$

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ 　･･････(14)

(14)を(12)に代入する．

$3$\displaystyle{6\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+6b- 6=0}$

$3$\displaystyle{b=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(15)

(14)，(15)を(9)に代入する．

$3$\displaystyle{27\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+6\cdot \left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)+c=0}$

$3$\displaystyle{c=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(16)

(14)，(15)，(16)，(7)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{x}^{3}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3=0}$ 　･･････(17)

(18)が求める3次関数である．(17)を因数分解すると(3)になる．

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最終更新日： 2024年9月13日