2次関数の頂点を求める問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{y=2{x}^{2}+5x+7}$ の頂点の座標を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{}$ − 5 4 , 31 8

■ヒント

2次関数を平方完成する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

$3$\displaystyle{y=2{x}^{2}+5x+7}$

$3$\displaystyle{x}$ の2次の項の係数 $3$2$ で $3$\displaystyle{x}$ の2次の項と1次の項をくくる

$3$\displaystyle{ =2 $ {x}^{2}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x $ +7 }$

$3$\displaystyle{ { $ x+\bigcirc $ }^{2} }$ の項を作るために $3$\displaystyle{x}$ の項を $3$\displaystyle{ 2\cdot \bigcirc\cdot x }$ の形に変形する．

$3$\displaystyle{ =2 $ {x}^{2}+2\cdot \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}}x $ +7 }$

さらに， $3$\displaystyle{ {x}^{2}- 2\cdot \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}x }$ の後に， $3$\displaystyle{+{\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ を挿入する．（ $3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{2}=0}$ であるので，上式と値は変化しない）

$3$\displaystyle{ =2 \{\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}\} +7 }$

$3${}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の中が $3$\displaystyle{ { $ x- \bigcirc $ }^{2} }$ になるように $3${}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の最後の項 $3$\displaystyle{- {\left({ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ を $3${}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の外に出す．

$3$\displaystyle{ =2 \{ {x}^{2}+2\cdot \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}}x+{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}} $ }^{2} \} - 2{ $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}} $ }^{2}+7 }$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}={\left({ x+y }\right)}^{2}}$ の関係を利用して式を変形する．

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} 4 \hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {5}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 2 \hspace{2}}+7 }$

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2} {5}^{2}- 4\cdot 2\cdot 7 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\cdot 2 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =2{ $ x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2} 31 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

よって，頂点の座標は

$3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}},\frac{\hspace{2} 31 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }\right)}$

となる．

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最終更新日 2025年12月17日