極限　x→∞　の問題

■問題

次の極限を求めよ．ただし， $3$n$ は自然数である．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty } $ \sqrt[n]{x}- \hspace{1}{ \log }_{e}x $ }$

■答

$3$\displaystyle{\infty}$

■ヒント

与式の関数は，累乗根と対数からなる．変数 $3$x$ を他の変数に置き換えることによって，極限の基本式を使えるようにする．

■解説

$3$\displaystyle{x={e}^{ nt }}$ とおくと， $3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{t\rightarrow \infty}$ となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty } $ \sqrt[n]{x}- \hspace{1}{ \log }_{e}x $ }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow \infty } $ \sqrt[n]{ {e}^{ nt } }- \hspace{1}{ \log }_{e}{e}^{ nt } $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow \infty } $ {e}^{t}- nt\hspace{1}{ \log }_{e}e $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow \infty } $ {e}^{t}- nt $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow \infty }{e}^{t} $ 1- n\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{t} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x→∞ }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x} \hspace{2}}=0}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 より

$3$\displaystyle{=\infty}$

ホーム>>カテゴリー分類>>その他>>極限に関する問題>>極限　ｘ→∞　　lim(x→∞)｛√(x)-log_e(x)}

最終更新日： 2025年10月8日

極限 x→∞ の問題

■問題

■答

■ヒント

■解説

極限　x→∞　の問題