極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 3 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}} }$

■答

極限は存在しない

■ヒント

$3$\displaystyle{x\rightarrow 3}$ のとき，変数 $3$\displaystyle{x}$ の近づけ方は，右側極限と左側極限の $3$\displaystyle{2}$ 通りある．

右側極限と左側極限が一致するとき，極限値が存在するので，これらの極限を考えると良い．

まず右側極限を考えると

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 3 }\right)\left({ x+3 }\right) \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}} }$

同様にして左側極限を調べれば良い．

■解き方

$3$\displaystyle{x=3}$ を境に絶対値 $3$\displaystyle{\left|{ x- 3 }\right|}$ の符号が変わるので，右側極限と左側極限を考える．

まず右側極限を考えると

$3$\displaystyle{3< x}$ のとき， $3$\displaystyle{\left|{ x- 3 }\right|=x- 3}$ であるから

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 3 }\right)\left({ x+3 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

同様にして左側極限を考えると

$3$\displaystyle{x> 3}$ のとき， $3$\displaystyle{\left|{ x- 3 }\right|=- \left({ x- 3 }\right)}$ であるから

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 3- 0 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3- 0 }\frac{\hspace{2} - \left({ x- 3 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 3 }\right)\left({ x+3 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3- 0 }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

となる．

右側極限 $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3+0 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ ，左側極限 $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3- 0 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ より， $3$\displaystyle{2}$ つの極限値は一致しない．

したがって， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 3 }\frac{\hspace{2} \left|{ x- 3 }\right| \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 9 \hspace{2}}}$ の極限は存在しない．

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最終更新日： 2026年6月10日