極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x }\right)}$

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }\rightarrow \infty}$ ， $3$\displaystyle{2x\rightarrow \infty}$ となり， $3$\displaystyle{\infty- \infty}$ の不定形となる．

このような場合， $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ と考え，分母，分子に $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x}$ をかけて分子を有理化するとよい．

参考： $3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }}$ は $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ より， $3$\displaystyle{2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ に近い値となる．

■解き方

$3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{ \sqrt{ 4{x}^{2}- x } \rightarrow \infty}$ ， $3$\displaystyle{2x\rightarrow \infty}$ となり， $3$\displaystyle{\infty- \infty}$ の不定形となる．

そこで不定形を解消するために分子を有理化をする．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ と考え，分母，分子に $3$\displaystyle{\sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x}$ をかけると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x }\right)\left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 1\cdot \left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} - x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x \hspace{2}}}$

分母の最高次数が $3$\displaystyle{x}$ より，分母，分子のすべての項を $3$\displaystyle{x}$ で割る．

このとき， $3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ より， $3$\displaystyle{x=\sqrt{ {x}^{2} }}$ であることに注意すると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\cdot \left({ - x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }+2x }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }+2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\rightarrow 0}$ より

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 4- 0 }+2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

となる．

●別解

以下のように式変形すると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ \sqrt{ 4{x}^{2}- x }- 2x }\right)}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\left({ \sqrt{ 4{x}^{2}\left({ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4x \hspace{2}} }\right) }- 2x }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }2x\left({ \sqrt{ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4x \hspace{2}} }- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}}$ と置くと， $3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ となる．よって上記の式を書き換えると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\left({ \sqrt{ 1- \frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }- 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ 4- t }- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ のとき，分母は $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ ，分子は $3$\displaystyle{\sqrt{ 4- t }- 2\rightarrow 0}$ となる．よって，ロピタルの定理を用いると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ 4- t }- 2 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({t}\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 4- t } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2026年6月11日