極限の問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 5 }\frac{\hspace{2} { \left({ x- 3 }\right) }^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 2 }\right)\left({ x- 6 }\right) \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

関数の極限値の性質

与式の極限を次のように考えると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 5 }\frac{\hspace{2} { \left({ x- 3 }\right) }^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x- 2 }\right)\left({ x- 6 }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow 5 }{ \left({ x- 3 }\right) }^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ x\rightarrow 5 }\left({ x- 2 }\right)\left({ x- 6 }\right) \hspace{2}}}$

■解き方

与式の極限は次のように考えることができる．

変数 $3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{5}$ に限りなく近づけると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {2}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\cdot \left({ - 1 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

よって求める極限値は

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2026年6月9日