極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {x}^{7}- 2{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 3{x}^{6}+4 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\infty}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき，分子 $3$\displaystyle{\rightarrow \infty}$ ，分母 $3$\displaystyle{\rightarrow \infty}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\infty\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}}$ の不定形となる．

このような場合，分母あるいは分子の次数の大きい方の最高次数の $3$\displaystyle{{x}^{7}}$ で分母，分子を割るとよい．

関数の極限値の性質も参考にする．

■解き方

分子の最高次数は $3$\displaystyle{{x}^{7}}$ より，分母，分子をその数で割ると

$3$\displaystyle{\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{5} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{7} \hspace{2}} \hspace{2}}}}$

$3$\displaystyle{x\rightarrow \infty}$ のとき， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{5} \hspace{2}}\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{7} \hspace{2}}\rightarrow 0}$ となる．

分子→ $3$\displaystyle{1}$ ，分母→ $3$\displaystyle{0}$ となる．この時，分母が $3$\displaystyle{0}$ に近づくにつれて値が大きくなる．

参考までに以下に示す通りである．

　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1.1 \hspace{2}}{\hspace{2} 0.1 \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} 1.01 \hspace{2}}{\hspace{2} 0.01 \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} 1.001 \hspace{2}}{\hspace{2} 0.001 \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} 1.0001 \hspace{2}}{\hspace{2} 0.0001 \hspace{2}}}$

つまり極限値は

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1- 0 \hspace{2}}{\hspace{2} 0+0 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\infty}$

となる．

よって求める極限値は

$3$\displaystyle{\infty}$

となる．

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最終更新日： 2026年6月9日