べき級数に展開する問題

■問題

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2{x}^{2} \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2{x}^{2} \hspace{2}}}$ とおいて， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } $x$ }$ を計算するのは大変である．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}}$ のマクローリン展開の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

を利用する．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}}$ のマクローリン展開の公式の $3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{2{x}^{2}}$ に置き換える

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2{x}^{2} \hspace{2}}=1+\left({ 2{x}^{2} }\right)+{\left({ 2{x}^{2} }\right)}^{2}+{\left({ 2{x}^{2} }\right)}^{3}+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1+2{x}^{2}+4{x}^{4}+8{x}^{6}+\cdots }$

■参考

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

$3$\displaystyle{x=2{t}^{2}}$ を代入する

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- 2{t}^{2} \hspace{2}}=1+\left({ 2{t}^{2} }\right)+{\left({ 2{t}^{2} }\right)}^{2}+{\left({ 2{t}^{2} }\right)}^{3}+\cdots }$

$3$\displaystyle{=1+2{t}^{2}+4{t}^{4}+8{t}^{6}+\cdots }$

$3$\displaystyle{t}$ を $3$\displaystyle{x}$ に書き換えても等式は成り立つ．

$3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{2{x}^{2}}$ に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである．

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>問題演習>>べき級数に展開する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月2日