べき級数に展開する問題

■問題

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ f$x$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }$ とおいて， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime\prime } $x$ }$ を計算するのは大変である．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}}$ のマクローリン展開の公式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

を用いる．

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- $- {x}^{2}$ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}}$ のマクローリン展開の公式の $3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{ - {x}^{2} }$ に置き換える

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {x}^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =1+ $- {x}^{2}$+ { $- {x}^{2}$ }^{2}+ { $- {x}^{2}$ }^{3}+ \cdots }$

$3$\displaystyle{ =1- {x}^{2}+{x}^{4}- {x}^{6}+\cdots }$

■参考

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots }$

$3$\displaystyle{ x=- {t}^{2} }$ を代入する

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- $- {t}^{2}$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =1+ $- {t}^{2}$+ { $- {t}^{2}$ }^{2}+ { $- {t}^{2}$ }^{3}+ \cdots }$

$3$\displaystyle{ =1- {t}^{2}+{t}^{4}- {t}^{6}+\cdots }$

$3$\displaystyle{t}$ を $3$\displaystyle{x}$ に書き換えても等式は成り立つ．

$3$\displaystyle{x}$ を $3$\displaystyle{ - {x}^{2} }$ に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである．

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>問題演習>>べき級数に展開する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月29日