べき級数に展開する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+x $ $ 1- 2x $ \hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a $ x- {\alpha} $ $ x- {\beta} $ \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a $ {\alpha}- {\beta} $ \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\alpha} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- {\beta} \hspace{2}} $ }$

この部分分数に分解する公式を使用し，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+x $ $ 1- 2x $ \hspace{2}}}$ を部分分数に分解する．（部分分数に分解する手順）

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+x $ $ 1- 2x $ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ \{ $ - 2 $ $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ - 2 $ $ x+1 $ $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ - 2 $ $ - 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}+2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ - 2x+1 $ \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \{ $ 1- x+{x}^{2}- {x}^{3}+{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot $ +2 $ 1+2x+4{x}^{2}+8{x}^{3}+16{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot $ \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ 3+3x+9{x}^{2}+15{x}^{3}+33{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot $ }$

$3$\displaystyle{ =1+x+3{x}^{2}+5{x}^{3}+11{x}^{4}+\cdot \cdot \cdot }$

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>問題演習>>べき級数に展開する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月5日