三角関数の方程式の問題

■問題

$3$\displaystyle{ 0^\circ \leq {\theta}< 360^\circ }$ のとき次の方程式を解きなさい．

$3$\displaystyle{ \cos 2{\theta}+3\cos {\theta}- 1=0 }$

$3$\displaystyle{ {\theta}={ 60 }^{^\circ },{ 300 }^{^\circ } }$

2倍角の公式の公式を用いて式を変形した後，因数分解をして解く．最後の $3$\displaystyle{{\theta}}$ を出すときは範囲に注意すること．

2倍角の公式　 $3$\displaystyle{ \cos 2{\theta}=2{ \cos }^{2}{\theta}- 1 }$ より

$3$\displaystyle{ $ 2{ \cos }^{2}{\theta}- 1 $ +3\cos {\theta}- 1=0 }$

$3$\displaystyle{ 2{ \cos }^{2}{\theta}+3\cos {\theta}- 2=0 }$

これを因数分解すると

$3$\displaystyle{ \left({ \cos {\theta}+2 }\right)\left({ 2\cos {\theta}- 1 }\right)=0 }$ ･･････(1)

となる

$3$\displaystyle{\cos {\theta}+2=0}$ ， $3$\displaystyle{2\cos {\theta}- 1=0}$

であるが， $3$\displaystyle{- 1\leq \cos {\theta}\leq 1}$ より， $3$\displaystyle{\cos {\theta}+2=0}$ は解なしとなり除かれる．

(1)を満たすのは

$3$\displaystyle{2\cos {\theta}- 1=0}$

となり

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ 0^\circ \leq {\theta}< 360^\circ }$ であるから

$3$\displaystyle{ {\theta}={ 60 }^{^\circ },{ 300 }^{^\circ } }$

となる．

最終更新日： 2025年3月3日