加法定理の問題の別解

■問題

$3$\displaystyle{\text{\sin 18}^\circ \text{\hspace{1} }}$ の値を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ =\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

底角が $3$\displaystyle{ 72^\circ \text{\hspace{1} }}$ の二等辺三角形に図のような補助線を引いて， $3$\displaystyle{18^\circ \text{\hspace{1} }}$ の角を作る．

■解き方

$3$\displaystyle{\text{AB}=1\text{\hspace{1} }}$ ， $3$\displaystyle{\text{BC}=x\text{\hspace{1} }}$

とおく．

$3$\displaystyle{\angle \text{ABC}\text{\hspace{1} }}$ に二等分線を引き， $3$\displaystyle{\text{AC}\text{\hspace{1} }}$ と交わる点を $3$\displaystyle{\text{D}\text{\hspace{1} }}$ とする．

$3$\displaystyle{\triangle \text{BCD}}$ ， $3$\displaystyle{\triangle \text{ABD}\text{\hspace{1} }}$ が二等辺三角形より， (二等辺三角形である理由)

$3$\displaystyle{\text{BD}=x}$ ， $3$\displaystyle{\text{AD}=x\text{\hspace{1} }}$

また， $3$\displaystyle{\text{AB}=\text{AC}=1\text{\hspace{1} }}$ より

$3$\displaystyle{\text{DC}=1- x\text{\hspace{1} }}$

となる．

$3$\displaystyle{\angle \text{BAC}\text{\hspace{1} }}$ に二等分線を引き， $3$\displaystyle{\text{BC}\text{\hspace{1} }}$ と交わる点を $3$\displaystyle{\text{E}\text{\hspace{1} }}$ とする．

以上をまとめた図が下の三角形である．

2角が等しいことより

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}\sim \triangle \text{BCD}\text{\hspace{1} }}$

である．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} CD \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BC}\text{\hspace{1} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1- x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}=1- x}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+x- 1=0\text{\hspace{1} }}$ …(1)

$3$\displaystyle{x> 0\text{\hspace{1} }}$ より(1) の解は，解の公式を用いると

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ =\frac{\hspace{2} \text{BE} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AB} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\text{BE}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{BC}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} - 1+5 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

したがって

$3$\displaystyle{\sin 18^\circ =\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 1+\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ $3$\displaystyle{\triangle \text{BCD}}$ と $3$\displaystyle{\triangle \text{ABD}\text{\hspace{1} }}$ が二等辺三角形の理由

$3$\displaystyle{\text{BD}\text{\hspace{1} }}$ は $3$\displaystyle{\angle \text{ABC}\text{\hspace{1} }}$ の二等分線であるので， $3$\displaystyle{\angle \text{CBD}\text{\hspace{1} }}$ は $3$\displaystyle{\text{36}^\circ }$

$3$\displaystyle{\angle \text{BDC}=180^\circ -72^\circ -36^\circ }$ $3$\displaystyle{=72^\circ }$

したがって

$3$\displaystyle{\angle \text{BCD}=\angle \text{BDC}}$

となり $3$\displaystyle{\triangle \text{BCD}}$ は二等辺三角形である．

$3$\displaystyle{\text{BD}\text{\hspace{1} }}$ は $3$\displaystyle{\angle \text{ABC}\text{\hspace{1} }}$ の二等分線であるので， $3$\displaystyle{\angle \text{ABD}\text{\hspace{1} }}$ は $3$\displaystyle{\text{36}^\circ \text{\hspace{1} }}$ ．したがって

$3$\displaystyle{\angle \text{ABD}=\angle \text{BAD}}$

となり $3$\displaystyle{\triangle \text{ABD}\text{\hspace{1} }}$ は二等辺三角形である．

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最終更新日： 2023年4月15日

加法定理の問題の別解

■問題

■答

■ヒント

■解き方

■ と が二等辺三角形の理由

■ $3$\displaystyle{\triangle \text{BCD}}$ と $3$\displaystyle{\triangle \text{ABD}\text{\hspace{1} }}$ が二等辺三角形の理由