加法定理の問題

■問題

$3$\displaystyle{ \sin {\alpha}- \cos {\beta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos \alpha - \sin {\beta}=\sqrt{2} }$ であるとき $3$\displaystyle{ \sin $ \alpha +{\beta} $ }$ の値を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ \sin $ \alpha +{\beta} $ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \sin {\alpha}- \cos {\beta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ と $3$\displaystyle{ \cos {\alpha}- \sin {\beta}=\sqrt{2} }$ の両辺を平方して加え式を変形する．

式を変形するとき，加法定理を用いる．

■解き方

$3$\displaystyle{ \sin {\alpha}- \cos {\beta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \cos {\alpha}- \sin {\beta}=\sqrt{2} }$ から

それぞれの式の両辺をを平方して加えると

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\alpha}- 2\sin {\alpha}\cos {\beta}+{ \cos }^{2}{\beta} }$ $3$\displaystyle{ +{ \cos }^{2}{\alpha}- 2\cos {\alpha}\sin {\beta}+{ \sin }^{2}{\beta} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+2 }$

$3$\displaystyle{ $ { \sin }^{2}{\alpha}+{ \cos }^{2}{\alpha} $ + $ { \sin }^{2}{\beta}+{ \cos }^{2}{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{ - 2 $ \sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta} $ =\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 }$ ， $3$\displaystyle{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ =\sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta} }$ より

$3$\displaystyle{ 2- 2\sin $ {\alpha}+{\beta} $ =\frac{\hspace{2} 11 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ - 2\sin $ {\alpha}+{\beta} $ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \sin $ {\alpha}+{\beta} $ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} }$

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最終更新日： 2023年3月15日