三角関数の最大値・最小値に関する問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{y=\sin \left({ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }\right)}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{\theta}=0}$ のとき，最小値 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ のとき，最大値 $3$\displaystyle{1}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }$ を $3$\displaystyle{t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

$3$\displaystyle{{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}=t}$ ･･････(1)

とおくと，与式は

$3$\displaystyle{y=\sin t}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と $3$\displaystyle{{\theta}}$ の範囲から， $3$\displaystyle{t}$ の範囲を求める．

$3$\displaystyle{0\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}\leq {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} \leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}\leq t\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{\sin t}$ は単位円上の点の $3$\displaystyle{y}$ 成分に相当するので図より， $3$\displaystyle{y=\sin t}$ は(3)の範囲において

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$ のとき最小

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ のとき最大

となる．(1)の関係と $3$\displaystyle{t}$ の値から対応する $3$\displaystyle{{\theta}}$ の値を求めて上記を書き換えると

$3$\displaystyle{y=\sin \left({ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }\right)}$ は $3$\displaystyle{0\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ において

$3$\displaystyle{ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }$ ⇒ $3$\displaystyle{ {\theta}=0 }$ のとき最小

$3$\displaystyle{{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ⇒ $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ のとき最大

以上より， $3$\displaystyle{y=\sin \left({ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }\right)}$ の

最小値は， $3$\displaystyle{ {\theta}=0 }$ のとき $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

最大値は， $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ のとき $3$\displaystyle{1}$

となる．

●グラフを用いた解法

$3$\displaystyle{y=\sin \left({ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }\right)}$ のグラフを以下に示す．

◇グラフの描き方は，このページを参考にする

グラフより， $3$\displaystyle{y=\sin \left({ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi} }\right)}$ の

最小値は， $3$\displaystyle{ {\theta}=0 }$ のとき $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

最大値は， $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}}$ のとき $3$\displaystyle{1}$

となる．

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最終更新日： 2025年2月17日