指数の計算問題

■問題

次の式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{{ $ \sqrt{3}- \sqrt{2} $ }^{ - 1 }+{ $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $ }^{ - 1 }}$

■答

$3$\displaystyle{ 2\sqrt{3} }$

■ヒント

指数計算の手順を参照

■解き方

$3$\displaystyle{{ $ \sqrt{3}- \sqrt{2} $ }^{ - 1 }+{ $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $ }^{ - 1 }}$

－1乗の項を分数にする．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}- \sqrt{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}+\sqrt{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\sqrt{3}}$ と $3$\displaystyle{\sqrt{2}}$ との和と差に着目し，乗法の公式 $3$\displaystyle{ $ x- y $ $ x+y $ ={x}^{2}- {y}^{2} }$ を用いて通分する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $ + $ \sqrt{3}- \sqrt{2} $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ \sqrt{3}- \sqrt{2} $ $ \sqrt{3}+\sqrt{2} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \sqrt{3} $ }^{2}- { $ \sqrt{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=2\sqrt{3}}$

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最終更新日： 2022年5月24日