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基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け

$3$\displaystyle{4\cdot {3}^{ t+1 }\leq {9}^{t}+27}$

■答

$3$\displaystyle{t\leq 1}$ ， $3$\displaystyle{2\leq t}$

■ヒント

　底を $3$3$ にそろえ， $3$\displaystyle{ {3}^{t}=X }$ とおく

■解説

$3$\displaystyle{ 4\cdot {3}^{ t+1 } }$ $3$\displaystyle{\leq {9}^{t}+27}$

$3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{\leq { \( {3}^{2} \) }^{t}- 4\cdot \( {3}^{t}\cdot {3}^{1} \) }$

$3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{\leq { \( {3}^{t} \) }^{2}- 12\cdot {3}^{t}+27}$

$3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{\leq {X}^{2}- 12\cdot X+27}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{ {3}^{t}=X> 0 }$ とおき，それを(1)に代入する．

$3$\displaystyle{0\leq {X}^{2}- 12\cdot X+27}$

次に因数分解をすると

$3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{\leq {X}^{2}- 12\cdot X+27}$

$3$\displaystyle{0}$ $3$\displaystyle{\leq \( X- 3 \) \( X- 9 \) }$

となる.よって， $3$X$ の範囲は

$3$\displaystyle{X\leq 3}$ ， $3$\displaystyle{9\leq X}$

となる．

$3$X$ を $3$\displaystyle{ {3}^{t} }$ に戻すと

$3$\displaystyle{{3}^{t}\leq 3}$ ， $3$\displaystyle{{3}^{t}\leq {3}^{1}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{9\leq {3}^{t}}$ ， $3$\displaystyle{{3}^{2}\leq {3}^{t}}$ 　･･････(3)

となる.底 $3$3$ が $3$1$ より大きい．よって

(2)より

$3$\displaystyle{t\leq 1}$

(3)より

$3$\displaystyle{2\leq t}$

以上より

$3$\displaystyle{t\leq 1}$ ， $3$\displaystyle{2\leq t}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日