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指数で表現された数の桁を求める問題

■問題

$3$\displaystyle{ {5}^{ 65 } }$ の桁数を求めよ．また，最上位の数は何か．ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }2=0.301}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }3=0.477}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }7=0.845}$ とする．

■解説動画

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■答

$3$46$ 桁であり，最上位の数は $3$2$ である．

■解説

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }{5}^{ 65 }}$ $3$\displaystyle{ =65\hspace{1}{ \log }_{ 10 }5 }$ $3$\displaystyle{ =65\times 0.6990 }$ $3$\displaystyle{ =45.435 }$

$3$\displaystyle{{5}^{ 65 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 45.435 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 45+0.435 }}$ $3$\displaystyle{={10}^{ 0.435 }\times {10}^{ 45 }}$

$3$\displaystyle{{10}^{0}< {10}^{ 0.435 }< {10}^{1}}$ →　 $3$\displaystyle{1< {10}^{ 0.435 }< 10}$

より

$3$\displaystyle{{10}^{ 45 }< {10}^{ 0.435 }\times {10}^{ 45 }< {10}^{ 46 }}$

$3$\displaystyle{{10}^{ 45 }< {5}^{ 65 }< {10}^{ 46 }}$

よって， $3$\displaystyle{{5}^{ 65 }}$ は $3$46$ 桁である

備考：

$3$\displaystyle{ { 10 }^{1}=10 }$ となり， $3$2$ 桁になる．

$3$\displaystyle{{10}^{2}=100}$ となり， $3$3$ 桁になる．

指数に $3$1$ を加えた値が桁数になる．このことから $3$\displaystyle{{10}^{45}}$ は， $3$46$ 桁の数になる．

一方

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }2}$ $3$\displaystyle{< 0.435}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{ 10 }3}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{ 10 }2< \hspace{1}{\log }_{ 10 }{10}^{ 0.435 }< \hspace{1}{\log }_{ 10 }3}$

底の $3$10$ は $3$1$ より

これは、レイアウト P タグのコンテンツです

大きいので，真数同士を比較すると

$3$\displaystyle{2< {10}^{ 0.435 }< 3}$

したがって

$3$\displaystyle{ 2\times { 10 }^{ 45 }< {5}^{ 65 }< 3\times { 10 }^{ 45 } }$

となる．ゆえに，最上位の数は $3$2$ となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日