ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の2重根号をはずし，式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 5- 2\sqrt{6} }}$

■答

$3$\displaystyle{\sqrt{3}- \sqrt{2}}$

■ヒント

2重根号のはずし方を参照する．

■解き方

2重根号のはずし方を参考する．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}a+b=5& \vspace{6}\\ ab=6& \vspace{6}\\ \end{array}}$

ただし， $3$\displaystyle{a> b> 0}$ ， $3$b> 0$

を満たす $3$a$ ， $3$b$ を求めるとよい．

ます， $3$\displaystyle{a> b> 0}$ ，かつ， $3$\displaystyle{ab=6}$ を満たす $3$a$ ， $3$b$ を求めると

$3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)=\left({ 6,1 }\right),\left({ 3,2 }\right)}$

この内， $3$a+b=5$ を満たすのは

$3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)=\left({ 3,2 }\right)}$

となる．よって

$3$\displaystyle{\sqrt{ 5- 2\sqrt{6} }=\sqrt{3}- \sqrt{2}}$

となる．

●式変形による解答

$3$\displaystyle{\sqrt{ 5- 2\sqrt{6} }=\sqrt{ 3- 2\sqrt{ 3\cdot 2 }+2 }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \sqrt{3} }\right) }^{2}- 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{ \left({ \sqrt{2} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \sqrt{3}- \sqrt{2} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{3}- \sqrt{2}}$

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最終更新日： 2025年12月22日