ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の2重根号をはずし，式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 2- \sqrt{3} }}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

2重根号のはずし方を参照する．

■解き方

2重根号のはずし方を参考する．

根号の前に $3$2$ がくるように式を変形する．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 2- \sqrt{3} }=\sqrt{ \frac{\hspace{2} 4- 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 4- 2\sqrt{3} } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

分子の $3$\displaystyle{ \sqrt{ 4- 2\sqrt{3} } }$ の2重根号をはずす．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}a+b=4& \vspace{6}\\ ab=3& \vspace{6}\\ \end{array}}$

ただし， $3$\displaystyle{a> b> 0}$

を満たす $3$a$ ， $3$b$ を求めるとよい．

$3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)=\left({ 3,1 }\right)}$

となる．よって

$3$\displaystyle{\sqrt{ 4- 2\sqrt{3} }=\sqrt{3}- 1}$

したがって

$3$\displaystyle{\sqrt{ 2- \sqrt{3} }=\frac{\hspace{2} \sqrt{3}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

分母を有理化する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2}\left({ \sqrt{3}- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

●式変形による解答

$3$\displaystyle{\sqrt{ 2- \sqrt{3} }=\sqrt{ \frac{\hspace{2} 4- 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} 3- 2\sqrt{3}+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{3} }\right) }^{2}- 2\sqrt{3}\cdot 1+{1}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{3}- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{3}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2}\left({ \sqrt{3}- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \hspace{2}}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{6}- \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数と式>>問題演習>>ルートを含む式の計算問題

最終更新日： 2025年12月22日