ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の分母を有理化し，式を簡単にせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5}- 1 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

分母の有理化を参考にする．

■解説

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{5}- 1 \hspace{2}}}$

分母の $3$\displaystyle{ \sqrt{5}- 1 }$ の符号を変えた $3$\displaystyle{ \sqrt{5}+1 }$ を分母・分子にをかける．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\left({ \sqrt{5}+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{5}- 1 }\right)\left({ \sqrt{5}+1 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{5}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt{5} }\right) }^{2}- {1}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{5}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} 5- 1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{5}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年12月25日