部分分数の分解

■問題

次の分数を部分分数に分解しなさい．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+4x- 12 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+6 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$

■解き方

分母を因数分解すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+4x- 12 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+6 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$

となる．次に，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+6 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+6 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+6 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A $ x- 2 $ +B $ x+6 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x+6 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} A+B=2 & \vspace{6}\\ - 2A+6B=4 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

の関係が成り立てばよい．

$3$\displaystyle{B=2- A}$

$3$\displaystyle{- 2A+6 $ 2- A $ =4}$

$3$\displaystyle{- 8A=- 8}$

$3$\displaystyle{A=1}$

$3$\displaystyle{B=1}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+4x- 12 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+6 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年6月27日

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} x+6 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}B\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$	$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} A \( x- 2 \) +B \( x+6 \) \hspace{2}}{\hspace{2} \( x+6 \) \( x- 2 \) \hspace{2}}}$