等比数列の一般項と和

■問題

初項2，公比3の等比数列の一般項を求め，初項から第9項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 9 }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=2\times {3}^{ n- 1 }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{9}=19682}$

■ヒント

一般項 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n} }$ は，等比数列の一般項の公式

$3$\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ n }}$ は，等比数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ 1- {r}^{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1- r \hspace{2}}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=2}$ ，公比 $3$\displaystyle{r=3}$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=2\times {3}^{ n- 1 }}$

(等比数列の一般項の公式 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }}$ より)

次に， $3$\displaystyle{n=9}$ であるから，初項から第9項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 9 }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 9 }}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2 $ 1- {3}^{9} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1- 3 \hspace{2}} }$

(等比数列の和の公式 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ 1- {r}^{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1- r \hspace{2}}}$ より)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\left({ 1- 19683 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} - 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=19682}$

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日