等比数列の和

■問題

等比数列 $3$\displaystyle{7,14,28,56,112,\cdot \cdot \cdot }$ の初項から第8項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 8 }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 8 }= 1785 }$

■ヒント

一般項 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n} }$ は，等比数列の一般項の公式

$3$\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }$

を用いて求める．

次に初項から第 $3$n$ 項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ n }}$ は，等比数列の和の公式

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1}${r}^{n}- 1$ \hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}} }$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=7}$ ，公比 $3$\displaystyle{r= 2 }$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ n }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=7\times {2}^{ n- 1 }}$

( 等比数列の一般項の公式 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }}$ より)

次に， $3$\displaystyle{n=8}$ であるから，初項から第8項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 8 }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 8 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 7\times $ {2}^{8}- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 2- 1 \hspace{2}}}$

( 等比数列の和の公式 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1}${r}^{n}- 1$ \hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}} }$ より)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 7\times $ 256- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =7\times 255 }$

$3$\displaystyle{ =1785 }$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月14日