等比数列の和

■問題

等比数列 $3$\displaystyle{ 21,- 7,\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}},\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 27 \hspace{2}},\cdot \cdot \cdot }$ の初項から第6項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 6 }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 6 }}$ = $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1274 \hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}}$

■ヒント

一般項 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n} }$ は，等比数列の一般項の公式

$3$\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }$

を用いて求める．

次に初項から第n項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ n }}$ は，等比数列の和の公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ 1- {r}^{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1- r \hspace{2}}}$

を用いて求める．

■解説

与えられた等比数列は，初項 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}=21}$ ，公比 $3$\displaystyle{r= - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ であるから，その一般項 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{ n }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{ n }\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=21\times { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{ n- 1 } }$

( 等比数列の一般項の公式 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }\hspace{1}{a}_{n}=\hspace{1}{a}_{1}{r}^{ n- 1 }}$ より)

次に， $3$\displaystyle{n=6}$ であるから，初項から第6項までの和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 6 }}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{ 6 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 21 \{ 1- { $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{6} \} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ \hspace{2}}}$

(等比数列の和の公式 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{1} $ 1- {r}^{n} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 1- r \hspace{2}}}$ より)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 21 $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 729 \hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 21\times \frac{\hspace{2} 728 \hspace{2}}{\hspace{2} 729 \hspace{2}}\times 729\times 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times 3\times 729 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 21\times 728\times 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\times 729 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 7\times 182 \hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1274 \hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2024年5月28日