数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 2+9 \hspace{2}}{\hspace{2} 5- 3 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} {2}^{2}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{2}- 3 \hspace{2}},\frac{\hspace{2} {2}^{3}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{3}- 3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot ,\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}=0}$

■ヒント

分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， $3$\displaystyle{n}$ が含まれている項のみ， $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ とすると， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\infty\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので
分子・分母を割る．

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{n}+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n}$ が含まれていない項は一定であるから， $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{n},\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}},\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}}}$ の $3$\displaystyle{n}$ が $3$\displaystyle{\infty}$ になったときの値を調べればよい．

$3$\displaystyle{ \[ 1 \] }$ $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{n}}$

$3$\displaystyle{- 1< \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}< 1}$ であるから，極限の基本式より

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{n}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する

$3$\displaystyle{ \[ 2 \] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．

$3$\displaystyle{ \[ 3 \] }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ ならば， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ に収束する

$3$\displaystyle{ \[1\] , \[2\] , \[3\] }$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} {2}^{n}+9 \hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n}- 3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} { $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }^{n}+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} {5}^{n} \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 0+0 \hspace{2}}{\hspace{2} 1- 0 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$

よって，与式は $3$\displaystyle{0}$ に収束する．

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最終更新日： 2024年5月28日