数列の極限に関する問題

■問題

数列

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7+4 } \hspace{2}},\frac{\hspace{2} \sqrt{6} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 14+4 } \hspace{2}},\frac{\hspace{2} \sqrt{9} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 21+4 } \hspace{2}},\cdot \cdot \cdot }$ $3$\displaystyle{,\frac{\hspace{2} \sqrt{ 3n } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7n+4 } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 $3$\displaystyle{n}$ 項

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 3n } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7n+4 } \hspace{2}}}$

となる数列の極限値

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{ 3n } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7n+4 } \hspace{2}}}$

を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{a}_{n}={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{ 3n } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7n+4 } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 21 } \hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$

■ヒント

すぐに $3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ とすると， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\infty\hspace{2}}{\hspace{2}\infty\hspace{2}}}$ の形になってしまう．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2} \sqrt{ 3n } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 7n+4 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{ \frac{\hspace{2} 3n \hspace{2}}{\hspace{2} 7n+4 \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\sqrt{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 7+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{n\rightarrow \infty}$ の時， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ は $3$\displaystyle{0}$ になる．

$3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{7} \hspace{2}}}$

有理化する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 21 } \hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$

すなわち，与式は $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{ 21 } \hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$ に収束する．

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最終更新日： 2024年5月28日