外積の計算

■問題

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }= $ 5,3,- 2 $ }$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }= $ 1,- 1,- 4 $ }$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }= $ - 6,2,- 3 $ }$

の外積 $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times $ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } $ }$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times ${b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow }$ }$ $3$\displaystyle{ =$- 19,45,20$ }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times $ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } $ }$ を以下のように展開してから計算を進める．

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times $ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } $ ={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{ {b}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{ {c}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{c}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{c}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{c}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} $ }$

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{c}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{c}_{y},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{c}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{c}_{z},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{c}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{c}_{x} $ }$

外積の成分表示を参照)

■解説

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times $ {b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow } $ }$ を展開すると

となる．

はじめに， $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow } }$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}=3\times \left({ - 4 }\right)- \left({ - 2 }\right)\times \left({ - 1 }\right) }$ $3$\displaystyle{ =- 14 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}=\left({ - 2 }\right)\times 1- 5\times \left({ - 4 }\right) }$ $3$\displaystyle{ =18 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x}=5\times \left({ - 1 }\right)- 3\times 1 }$ $3$\displaystyle{ =- 8 }$

次に， $3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{c}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{c}_{y}=3\times \left({ - 3 }\right)- \left({ - 2 }\right)\times 2 }$ $3$\displaystyle{ =- 5 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{c}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{c}_{z}=\left({ - 2 }\right)\times \left({ - 6 }\right)- 5\times \left({ - 3 }\right) }$ $3$\displaystyle{=27}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{c}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{c}_{x}=5\times 2- 3\times \left({ - 6 }\right)}}$ $3$\displaystyle{=28}$

よって，求める外積は，

$3$\displaystyle{ {a}\limits^{\rightarrow }${b}\limits^{\rightarrow }+{c}\limits^{\rightarrow }$={a}\limits^{\rightarrow }\times {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\times {c}\limits^{\rightarrow } }$

$3$\displaystyle{ =$- 14,18,- 8$+$- 5,27,28$ }$

$3$\displaystyle{ =$- 19,45,20$ }$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月16日