重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} xdxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:0\leq y\leq 3x- {x}^{2} $ }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

はじめに領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図し， $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解説

領域 $3$\displaystyle{D}$ は

$3$\displaystyle{0\leq y\leq 3x- {x}^{2}}$

であることより

直線 $3$\displaystyle{y=0}$ 　･･････(1)

曲線 $3$\displaystyle{y=3x- {x}^{2}}$ 　･･････(2)

で囲まれた領域である．(2)を平方完成すると

$3$\displaystyle{y=- {x}^{2}+3x}$

$3$\displaystyle{=- $ {x}^{2}- 3x $ }$

$3$\displaystyle{=- \{ {x}^{2}- 3x+{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}- { $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} \} }$

$3$\displaystyle{=- \{ {x}^{2}- 3x+{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2} \} +{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{=- { $ {x}^{2}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

となり，頂点が $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }$ の上に凸のグラフとなることが分かる．

$3$\displaystyle{3x- {x}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{x $ 3- x $ =0}$

$3$\displaystyle{x=0,3}$

$q3-1$

(1)と(2)の交点は $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ , $ 3,0 $ }$ の2点となる．領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図すると右図のようになる．

これより積分範囲を決定すると

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} xdxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{3} $ \int _{0}^{ 3x- {x}^{2} } xdy $ dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{ 3x- {x}^{2} }xdy }$ を計算する． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{3} \[ xy \] _{ 0 }^{ 3x- {x}^{2} }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{3} \{ x\cdot $ 3x- {x}^{2} $ - x\cdot 0 \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{3} $ 3{x}^{2}- {x}^{3} $ dx }$

更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{= \[ {x}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4} \] _{ 0 }^{ 3 }}$

$3$\displaystyle{={3}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {3}^{4}- $ {0}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {0}^{4} $ }$

$3$\displaystyle{=27- \frac{\hspace{2} 81 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 108- 81 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 27 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月3日