重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2xy+3{y}^{2} $ dxdy }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ D:{x}^{2}\leq y\leq x $ }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} 21 \hspace{2}}}$

■ヒント

はじめに領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図し， $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ の積分範囲を決定する．

次に， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分し，その結果を更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

■解説

領域 $3$\displaystyle{D}$ は

$3$\displaystyle{{x}^{2}\leq y\leq x}$

であることより

曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}}$ 　･･････(1)

直線 $3$\displaystyle{y=x}$ 　･･････(2)

で囲まれた領域である． (1)，(2) の交点を求めると，

$3$\displaystyle{{x}^{2}=x}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- x=0}$

$3$\displaystyle{x $ x- 1 $ =0}$

$3$\displaystyle{x=0,1}$

$3$\displaystyle{y=x}$ の関係から交点は $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ , $ 1,1 $ }$ の2点となる．

領域 $3$\displaystyle{D}$ を作図すると図のようになる．

$q3-3$

これより積分範囲を決定すると

$3$\displaystyle{{\int\int }\limits_{D} $ 2xy+3{y}^{2} $ dxdy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} $ \int _{ {x}^{2} }^{x} \( 2xy+3{y}^{2} $ dy \) dx }$

まず， $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{ {x}^{2} }^{x}\left({ 2xy+3{y}^{2} }\right)dy }$ を計算する． $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ について積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \[ x{y}^{2}+{y}^{3} \] _{ {x}^{2} }^{ x }dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \[ x\cdot {x}^{2}+{x}^{3}- \{ x\cdot { $ {x}^{2} $ }^{2}+{ $ {x}^{2} $ }^{3} \} \] dx }$

指数法則を利用する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \{ {x}^{3}+{x}^{3}- $ x\cdot {x}^{4}+{x}^{6} $ \} dx }$

更に $3$\displaystyle{x}$ で積分する．

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} \{ 2{x}^{3}- $ {x}^{5}+{x}^{6} $ \} dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} $ 2{x}^{3}- {x}^{5}- {x}^{6} $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{1} $ - {x}^{6}- {x}^{5}+2{x}^{3} $ dx }$

$3$\displaystyle{= \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{x}^{7}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{x}^{6}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{4} \] _{ 0 }^{ 1 }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {1}^{7}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\cdot {1}^{6}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {1}^{4}}$

$3$\displaystyle{- $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {0}^{7}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\cdot {0}^{6}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {0}^{4} $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 6- 7+21 \hspace{2}}{\hspace{2} 42 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 42 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} 21 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年8月3日