重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$3$ \displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \log xy }dxdy {5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{10} \hspace{10}$ 　　 $3$ \hspace{5}$ D:1\leq x\leq 2,\hspace{1}1\leq y\leq 2 $$

■ヒント

$3$ \log x$ の積分の応用である

■答

$3$ 4\log 2- 2$

■解説　

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{1}^{2} \displaystyle{ \int _{1}^{2} \log xy } }dxdy }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{2} \{ \displaystyle{ \int _{1}^{2} \log xydx } \} }dy}$ 　　　　　

（ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \log x }dx}$ の計算を参照）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{2} \{ \displaystyle{ \int _{1}^{2} 1\cdot \log xydx } \} }dy}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{2} \{ $ 2\log 2y- \log y $ - \[x\] _{1}^{2} \} }dy}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{2} \{ \[ x\log xy \] _{1}^{2}- \displaystyle{ \int _{1}^{2} x\cdot \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} xy \hspace{2}}dx } \} }dy}$