重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{{\pi}} \int _{0}^{{\pi}} \sin $ x+y $ dxdy }$

$3$\displaystyle{0}$

まず，次式を $3$\displaystyle{y}$ を定数と考え $3$\displaystyle{x}$ について積分する．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{{\pi}} \sin $ x+y $ dx }$

その結果を $3$\displaystyle{y}$ で積分する．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{{\pi}} \int _{0}^{{\pi}} \sin $ x+y $ dxdy }$

$3$\displaystyle{ =\int _{0}^{{\pi}} \left{{ \int _{0}^{{\pi}} \sin $ x+ y $ dx }\right}dy }$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{{\pi}} \[ - \cos $ x+y $ \] _{0}^{{\pi}} dy}$

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{{\pi}} \{ - \cos $ {\pi}+y $ +\cos y \} dy}$

$3$\displaystyle{- \cos \left({ {\pi}+y }\right)=- \left({ - \cos y }\right)=\cos y}$ より(ここを参照)

$3$\displaystyle{=\int _{0}^{{\pi}} 2\cos y dy}$

$3$\displaystyle{= \[ 2\sin y \] _{0}^{{\pi}}}$

$3$\displaystyle{=0}$

最終更新日： 2023年8月4日