特性方程式

特性方程式

f( D ) 微分演算子とする.

微分方程式

f( D )y=0

において f( t )y=0 特性方程式という.

■特性方程式の意味するもの

微分方程式

f( D )y=0  ・・・・・・(1)

において y= e tx とおくと

f( D ) e tx =0

f( t ) e tx =0  (この公式より)

となる. e tx 0 であるので, f( t )=0 の方程式の解の1つを α とすれば y= e αx は(1)の解である.

(1)の左辺に y= e αx を代入するすると

f D e αx =f α e αx =0

α f t =0 の解なので f α =0

よって, y= e αx は(1)を満たすので(1)の解となる.

■具体例

y +3 y +2y=0

D 2 y+3Dy+2y=0

( D 2 +3D+2 )y=0

ここで f( D )= D 2 +3D+2 とおくと

f( D )y=0

特性方程式

f( t )=0

すなわち

t 2 +3t+2=0

となる.

 

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最終更新日: 2023年6月13日