極座標表示におけるラプラシアン(3次元)

極座標表示におけるラプラシアン (3次元)

関数 ψ=ξ(x,y,z) において極座標表示

x=rsinθcosφ  y=rsinθsinφ  z=rcosθ

におけるラプラシアン

Δψ=( 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 )ψ

= { 1 r 2 r ( r 2 r )+ 1 r 2 sinθ θ ( sinθ θ )+ 1 r 2 sin 2 θ 2 φ 2 }ψ

で与えられる.

■導出手順

与式の左辺の 2 ψ x 2 2 ψ y 2 2 ψ z 2 を求め

r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2 φ x 2 φ x 2 r y 2 r y 2 θ y 2 θ y 2 φ y 2 φ y 2 r z 2 r z 2 θ z 2 θ z 2 φ z 2 φ z 2

を用いて右辺へ式変形する.

■導出

始めに,関数 ψ x で偏微分する.参考:合成関数の偏導関数

ψ x = ψ r r x + ψ θ θ x + ψ φ φ x      

2 ψ x 2 = x ( ψ x ) = x ψ r r x + ψ θ θ x + ψ φ φ x

= x ( ψ r r x )+ x ( ψ θ θ x )+ x ( ψ φ φ x )

ここで

x ψ r r x = x ψ r r x + ψ r x r x

x ψ θ θ x = x ψ θ θ x + ψ θ x θ x

x ψ φ φ x = x ψ φ φ x + ψ φ x φ x

より

= x ψ r r x + ψ r x r x + x ψ θ θ x + ψ θ x θ x + x ψ φ φ x + ψ φ x φ x

さらに

x ψ r r x = r ψ r r x + θ ψ r θ x r x

x ψ θ θ x = r ψ θ r x + θ ψ θ θ x θ x

x ψ φ φ x = r ψ φ r x + φ ψ φ φ x φ x

である.従って

2 ψ x 2 = r ψ r r x + θ ψ r θ x r x + ψ r 2 r x 2

 + r ψ θ r x + θ ψ θ θ x θ x + ψ θ 2 θ x 2

 + r ψ φ r x + φ ψ φ φ x φ x + ψ φ 2 φ x 2

= 2 ψ r 2 ( r x ) 2 + 2 ψ θr θ x r x + ψ r 2 r x 2 + 2 ψ rθ r x θ x

 + 2 ψ θ 2 ( θ x ) 2 + ψ θ 2 θ x 2 + 2 ψ rφ r x φ x + 2 ψ φ 2 ( φ x ) 2 + ψ φ 2 φ x 2  ・・・・・・(1)

次に

r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2 φ x 2 φ x 2

を具体的に求めて(1)を式変形する.

始めに

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ

の両辺を2乗して加えると

x 2 + y 2 = r sin θ cos φ 2 + r sin θ sin φ 2

となり,これを整理すると 参考:三角関数の相互関係

x 2 + y 2 = r 2 sin 2 θ

よって

x 2 + y 2 = r sin θ

となる.ここで z = r cos θ の関係より,左辺を z で,右辺を rcosθ 割って

x 2 + y 2 z = r sin θ r cos θ

x 2 + y 2 z = tan θ   ・・・・・・(2)

とする.次に

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ

の関係から

y x = r sin θ sin φ r sin θ cos φ

y x = sin φ cos φ

y x = tan φ   ・・・・・・(3)

が得られる.さらに

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

の辺々を2乗して足すことにより

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 θ cos 2 φ + r 2 sin 2 θ sin 2 φ + r 2 cos 2 θ

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 θ ( cos 2 φ + sin 2 φ ) + r 2 cos 2 θ

x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 θ + r 2 cos 2 θ

x 2 + y 2 + z 2 = r 2   ・・・・・・(4)

が得られる.上記の(2),(3),(4) を用いて

r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2 φ x 2 φ x 2

を求める.

(4)の両辺を x で偏微分して

2 x = 2 r r x

x r = r x

r x = r sin θ cos φ r

r x = sin θ cos φ   ・・・・・・(5)

が得られる.(3)の両辺を x で偏微分して

y 1 x 2 = 1 cos 2 φ φ x

tan 2 φ + 1 φ x = y x 2

y 2 x 2 + 1 φ x = y x 2

y 2 + x 2 x 2 φ x = y x 2

r 2 z 2 x 2 φ x = y x 2

φ x = y r 2 z 2 = r sin θ sin φ r 2 r 2 cos 2 θ = r sin θ sin φ r 2 1 cos 2 θ = r sin θ sin φ r 2 sin 2 θ = sin φ r sin θ   ・・・・・・(6)

が得られる.(2)の両辺を x で偏微分して

x x 2 + y 2 1 2 z = 1 cos 2 θ θ x

θ x = x cos 2 θ z x 2 + y 2

= r sin θ cos φ cos 2 θ r cos θ r 2 sin 2 θ cos 2 φ + r 2 sin 2 θ sin 2 φ

= r sin θ cos φ cos 2 θ r 2 cos θ sin θ cos 2 φ + sin 2 φ

= cos θ cos φ r   ・・・・・・(7)

が得られる.

2 r x 2 = x r x

(5)を代入して

= x sin θ cos φ

= r sin θ cos φ r x + θ sin θ cos φ θ x + φ sin θ cos φ φ x

= cos θ cos φ θ x sin θ sin φ φ x

(7),(6)を代入して

= cos θ cos φ cos θ cos φ r sin θ sin φ sin φ r sin θ

= cos 2 θ cos 2 φ r + sin 2 φ r

= cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r   ・・・・・・(8)

が得られる.

2 θ x 2 = x θ x

(7)を代入して

= x cos θ cos φ r

= r cos θ cos φ r r x + θ cos θ cos φ r θ x + φ cos θ cos φ r φ x

= cos θ cos φ r 2 r x sin θ cos φ r θ x cos θ sin φ r φ x

(5),(7),(6)を代入して

= cos θ cos φ r 2 sin θ cos φ sin θ cos φ r cos θ cos φ r cos θ sin φ r sin φ r sin θ

= sin θ cos θ cos 2 φ r 2 sin θ cos θ cos 2 φ r 2 + cos θ sin 2 φ r 2 sin θ

= 2sin θ cos θ cos 2 φ r 2 + cos θ sin 2 φ r 2 sin θ

= 2 sin 2 θ cos θ cos 2 φ + cos θ sin 2 φ r 2 sin θ

= cos θ 2 sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r 2 sin θ  ・・・・・・(9)

が得られる.

2 φ x 2 = x φ x

(6)を代入して

= x sin φ r sin θ

= r sin φ r sin θ r x + θ sin φ r sin θ θ x + φ sin φ r sin θ φ x

= sinφ r 2 sinθ r x + cosθsinφ r sin 2 θ θ x cosφ rsinθ φ x

参考:基本となる関数の導関数(微分)

(5),(7),(6)を代入して

= sinφ r 2 sinθ sinθcosφ+ cosθsinφ r sin 2 θ cosθcosφ r cosφ rsinθ sinφ rsinθ

= sinφcosφ r 2 + cos 2 θsinφcosφ r 2 sin 2 θ + sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= sinφcosφ sin 2 θ+ cos 2 θ +sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ  ・・・・・・(10)

ここで,(2)〜(10)を用いて(1)を式変形すると

2 ψ x 2 = 2 ψ r 2 sin θ cos φ 2 + 2 ψ θ r cos θ cos φ r sin θ cos φ + ψ r cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r

+ 2 ψ r θ sin θ cos φ cos θ cos φ r + 2 ψ θ 2 cos θ cos φ r 2 + ψ θ cos θ 2 sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r 2 sin θ

+ 2 ψ rφ sinθcosφ sinφ rsinθ + 2 ψ φ 2 sinφ rsinθ 2 + ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= 2 ψ r 2 sin 2 θ cos 2 φ + 2 ψ θ r sin θ cos θ cos 2 φ r + ψ r cos 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r

+ 2 ψ r θ sin θ cos θ cos 2 φ r + 2 ψ θ 2 cos 2 θ cos 2 φ r 2 + ψ θ cos θ 2 sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 φ r 2 sin θ

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + 2 ψ φ 2 sin 2 φ r 2 sin 2 θ + ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ  ・・・・・・(11)

が得られる.

同様にして(詳しくはこちら)

2 ψ y 2 = 2 ψ r 2 sin 2 θ sin 2 φ + 2 ψ θ r sin θ cos θ sin 2 φ r + ψ r cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r

+ 2 ψ r θ sin θ cos θ sin 2 φ r + 2 ψ θ 2 cos 2 θ sin 2 φ r 2 + ψ θ cos θ 2 sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ r 2 sin θ

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + 2 ψ φ 2 cos 2 φ r 2 sin 2 θ ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ  ・・・・・・(12)

が得られる.

同様にして(詳しくはこちら

2 ψ z 2 = 2 ψ r 2 cos 2 θ 2 ψ θ r sin θ cos θ r + ψ r sin 2 θ r

2 ψ r θ sin θ cos θ r + 2 ψ θ 2 sin 2 θ r 2 + ψ θ 2 sin θ cos θ r 2   ・・・・・・(13)

が得られる.

(11),(12),(13)を足し合わせると

2 ψ x 2 + 2 ψ y 2 + 2 ψ z 2 = 2 ψ r 2 sin 2 θ cos 2 φ+ 2 ψ θr sinθcosθ cos 2 φ r + ψ r cos 2 θ cos 2 φ+ sin 2 φ r

+ 2 ψ rθ sinθcosθ cos 2 φ r + 2 ψ θ 2 cos 2 θ cos 2 φ r 2 + ψ θ cosθ 2 sin 2 θ cos 2 φ+ sin 2 φ r 2 sinθ

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + 2 ψ φ 2 sin 2 φ r 2 sin 2 θ + ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

+ 2 ψ r 2 sin 2 θ sin 2 φ+ 2 ψ θr sinθcosθ sin 2 φ r + ψ r cos 2 θ sin 2 φ+ cos 2 φ r

+ 2 ψ rθ sinθcosθ sin 2 φ r + 2 ψ θ 2 cos 2 θ sin 2 φ r 2 + ψ θ cosθ 2 sin 2 θ sin 2 φ+ cos 2 φ r 2 sinθ

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + 2 ψ φ 2 cos 2 φ r 2 sin 2 θ ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

+ 2 ψ r 2 cos 2 θ 2 ψ θr sinθcosθ r + ψ r sin 2 θ r

2 ψ rθ sinθcosθ r + 2 ψ θ 2 sin 2 θ r 2 + ψ θ 2sinθcosθ r 2

= 2 ψ r 2 sin 2 θ cos 2 φ+ sin 2 θ sin 2 φ+ cos 2 θ

+ 2 ψ θr sinθcosθ cos 2 φ r + sinθcosθ sin 2 φ r sinθcosθ r

+ ψ r cos 2 θ cos 2 φ+ sin 2 φ r + cos 2 θ sin 2 φ+ cos 2 φ r + sin 2 θ r

+ 2 ψ rθ sinθcosθ cos 2 φ r + sinθcosθ sin 2 φ r sinθcosθ r

+ 2 ψ θ 2 cos 2 θ cos 2 φ r 2 + cos 2 θ sin 2 φ r 2 + sin 2 θ r 2

+ ψ θ cosθ 2 sin 2 θ cos 2 φ+ sin 2 φ r 2 sinθ + cosθ 2 sin 2 θ sin 2 φ+ cos 2 φ r 2 sinθ + 2sinθcosθ r 2

+ 2 ψ rφ sinφcosφ r + sinφcosφ r

+ 2 ψ φ 2 sin 2 φ r 2 sin 2 θ + cos 2 φ r 2 sin 2 θ

+ ψ φ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ 2sinφcosφ r 2 sin 2 θ

= 2 ψ r 2 + 2 r ψ r + 1 r 2 2 ψ θ 2 + cos θ r 2 sin θ ψ θ + 1 r 2 sin 2 θ 2 ψ φ 2 = { 1 r 2 r ( r 2 r ) + 1 r 2 sin θ θ ( sin θ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 φ 2 } ψ

となり,示された.

 

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最終更新日:2023年1月17日