内積(n次元ベクトル)

成分が複素数の場合の内積(n次元ベクトル)

ベクトルの成分を実数から複素数に拡張した場合,内積の定義は以下のようになる.(参考:成分が実数の場合の内積)

n 次元列ベクトル

a= a 1 a 2 a n b= b 1 b 2 b n  ( a i a i は複素数)

において

a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + a n b n ¯ = i=1 n a i b i ¯

となる値を, a b 内積と定義し

ab

で表す.すなわち

ab= i=1 n a i b i ¯  ・・・・・・(1)

となる.内積を行列の計算表現を使うと

ab= a t b ¯ = a 1 a 2 a n b 1 ¯ b 2 ¯ b n ¯

となる.

行ベクトルでも列ベクトルと同様に内積は(1)で定義される.

内積については次の法則が成り立つ.

(i)    ab= ba ¯

(∵ ab= i=1 n a i b i ¯ = i=1 n b i ¯ a i = i=1 n b i ¯ a i ¯ ¯ = i=1 n b i a i ¯ ¯ = i=1 n b i a i ¯ ¯ = ba ¯ )

(ii)   a+b c=ac+bc

(iii)  ka b=a k ¯ b =k ab

(∵ ka b= i=1 n k a i b i ¯ = i=1 n a i k b i ¯ = i=1 n a i k ¯ b i ¯ =a k ¯ b
ka b= i=1 n k a i b i ¯ =k i=1 n a i b i ¯ =k ab )

(iv)  aa0 ,特に, aa=0a=0

 

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最終更新日:2022年9月3日