対数関数

a > 0

，

a \neq 1

とするとき，

x

の関数

$y = {log}_{a} x$ $(x > 0)$

を $a$ を底とする対数関数という．

（ $x > 0$ である任意の $x$ に対して ${log}_{a} x$ の値が定まるので， ${log}_{a} x$ は $x$ の関数である ⇒対数の定義参照）

■対数関数 $y = {log}_{a} x$ のグラフ

対数の定義より，

$r = {log}_{a} R \Leftrightarrow R = a^{r}$

の関係が成り立つから，点 $(R, r)$ が対数関数 $y = {log}_{a} x$ のグラフ上にあれば， $x$ 座標と $y$ 座標を入れ替えた点 $(r, R)$ は指数関数 $y = a^{x}$ のグラフ上にある．点 $(R, r)$ と点 $(r, R)$ は， $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わった関係であるので，直線y =x に関して対称である．右図参照．

したがって，

対数関数 $y = {log}_{a} x$ のグラフと指数関数 $y = a^{x}$ のグラフは，直線y =x に関して対称の関係

（言い方を替えると逆関数の関係）

である．

■対数関数の性質

a > 1

の場合　

$x$ の値が増加すれば， $y$ の値も増加する単調増加である（単調増加関数）．

すなわち，

$x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow {log}_{a} x_{1} > {log}_{a} x_{2}$

（大小関係はかわらない）

0 < a < 1

の場合　

$x$ の値が増加すれば， $y$ の値は減少する単調減少である（単調減少関数）．　

すなわち，

$x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow {log}_{a} x_{1} < {log}_{a} x_{2}$

（大小関係は逆になる）

定義域：正の実数全体　，　値域：実数全体

グラフは点 $(1, 0)$ を通り， $y$ 軸が漸近線である．

$x_{1} = x_{2} \Leftrightarrow {log}_{a} x_{1} = {log}_{a} x_{2}$
（ $y = {log}_{a} x$ は単調増加あるいは単調減少するので， $x$ と $y$ は1対1の関係であることによる．）

$y = {log}_{a} x$ と $y = {log}_{\frac{1}{a}} x$ は $x$ 軸に対して対称である．

◆具体的な対数関数のグラフを示す．

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最終更新日： 2023年8月29日

対数関数

■対数関数 y= log a x のグラフ

■対数関数の性質

■対数関数 $y = {log}_{a} x$ のグラフ