周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期 2 周期関数 f( x )

f( x )= a 0 2 + n=1 ( a n cos nπx + b n sin nπx L )

a 0 = 1 f( x ) xdx   ・・・・・・(1)  

a n = 1 f( x ) cos nπ xdx     ( n=1,2,3 ) ・・・・・・(2)

b n = 1 f( x ) sin nπ xdx      ( n=1,2,3 ) ・・・・・・(3)

のようり三角関数級数として表される.この級数のことを関数 f ( x ) フーリエ級数といい, a 0 a n b n のことをフーリエ係数という.

関数 f ( x ) が不連続となる x などでは f ( x ) の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので, f ( x ) のフーリエ級数を表す場合

f( x )= a 0 2 + n=1 ( a n cos nπx + b n sin nπx )  ・・・・・・(4)

 のように「=」を使わず,「〜」を使い

f( x ) a 0 2 + n=1 ( a n cos nπx L + b n sin nπx )  ・・・・・・(5)

と表すのが一般的である.

■周期2πのフーリエ級数から周期 2 のフーリエ級数の求め方

周期2πの周期関数 f( x )

f( x )=f( x+2π )  ・・・・・・(6)

の関係がある.(6)に x= π t を代入すると

f( π t )=f( π t+2π )  

f( π t )=f( π ( t+2 ) )  

となる.

f( π t )=g( t )  

とおくと,

g( x )=g( x+2 )  

となり, g ( x ) は周期2πの周期関数 になる.

上記の性質を利用して,周期2πのフーリエ級数から周期 2 のフーリエ級数を求める.

周期2πのフーリエ級数の式に x = π t と置いて変数を x から t に変換する.

a 0 + n = 1 ( a n cos n x d x + b n sin n x ) = a 0 + n = 1 ( a n cos n n π t d x + b n sin n n π t d t )

となる.

フーリエ係数は,周期2πのフーリエ係数を求める積分を x = π t と置いて置換積分をすることによって求める.

dx dt = π より dx= π dt

x ππ
t

よって

a 0 = 1 2π π π f( x )dx = 1 2π f( π t ) π dt = 1 2 f( π t )dt = 1 2 g( t )dt

a n = 1 2π π π f( x )cosnxdx = 1 2π f( π t )( cosn π t ) π dt  

= 1 2 f( π t )cosn nπ tdt = 1 2 g( t )cosn nπ tdt  

b n = 1 2π π π f( x )sinnxdx = 1 2π f( π t )( sinn π t ) π dt  

= 1 2 f( π t )sinn nπ tdt = 1 2 g( t )sinn nπ tdt  

となる.変数を x から t に,関数 f を関数 f に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない.

以上より,周期 2 のフーリエ級数の式が求まる.

 

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最終更新日: 2023年7月3日