複素フーリエ級数

複素フーリエ級数

複素フーリエ級数は,フーリエ級数を複素数にまで拡張したもので

f x = n= a n e i nπ x

a n = 1 2 f x e i nπ x dx

と表される.

■導出

フーリエ級数

f( x ) a 0 + n=1 ( a n cos nπ x+ b n sin nπ x )  ・・・・・・(1)

a 0 = 1 2 f( x )dx  ・・・・・・(1a)

a n = 1 f( x )cos nπ xdx  ・・・・・・(1b)

b n = 1 f( x )sin nπ xdx  ・・・・・・(1c)

n=1,2,

オイラーの公式

e iθ =cosθ+isinθ  ・・・・・・(2)

より,複素数にまで拡張する.(2)より

e iθ =cos( θ )+isin( θ ) =cosθisinθ  ・・・・・・(3)

が得られる.(2)+(3)より

e iθ + e iθ =2cosθ

cosθ= e iθ + e iθ 2  ・・・・・・(4)

(2)-(3)より

e iθ e iθ =2isinθ

sinθ= e iθ e iθ 2i = i( e iθ e iθ ) 2 i 2 =i e iθ e iθ 2  ・・・・・・(5)

が得られる.

(4)より

cos nπ x= e i nπ x + e i nπ x 2  ・・・・・・(6)

(5)より

sin nπ x=i e i nπ x e i nπ x 2  ・・・・・・(7)

となる.

(1b)に(6)を代入する.

a n = 1 f x e i nπ x + e i nπ x 2 dx

= 1 2 f x e i nπ x dx + 1 2 f x e i nπ x dx  ・・・・・・(8)

(8)の右辺の第2項を

1 2 f( x )e i nπ x dx= c n  ・・・・・・(9)

とおく.

(8)の辺の第1項は

1 2 f x e i nπ x dx = 1 2 f x e i n π x dx  ・・・・・・(10)

となり,(9)の n のところが n になっている.よって(8)式の右辺の第2項は c n と表わすことができる.したがって,

a n = C n + C n  ・・・・・・(11)

となる.

同様にして(10)に(7)を代入する.

b n = 1 f x i e i nπ x e i nπ x 2 dx

=i( 1 2 f( x ) e i nπ x dx 1 2 f( x ) e i nπ x dx )

=i( C n C n )  ・・・・・・(12)

となる.

a 0 = 1 2 f( x )dx= 1 2 f( x ) e i nπ ·0 = C 0  ・・・・・・(13)

となる.

(1)に(11),(12),(13),(6),(7)を代入すると

f( x ) C 0 + n=1 1 2 { ( C n + C n ) e i nπ x + e i nπ x 2 i( C n C n )( i e i nπ x e i nπ x 2 ) }

C 0 + n=1 1 2 C n e i nπ x + C n e i nπ x + C n e i nπ x + C n e i nπ x C n e i nπ x + C n e i nπ x + C n e i nπ x C n e i nπ x

C 0 + n=1 ( C n e i nπ x + C n e i nπ x )

C 0 + n=1 C n e i nπ x + n=1 C n e i nπ x )

C 0 e i nπ 0 + n=1 C n e i nπ x + n= 1 C n e i nπ x

n= C n e i nπ x

となる.すなわち

f( x ) n= C n e i nπ x

C n = 1 2 f( x ) e i nπ x dx

 

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最終更新日: 2023年7月3日