単振り子 : 運動方程式 (equation of motion) [ 回転運動の法則から導出 ]
鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した棒の先端に質量
m
の質点を取り付けた単振り子について,図のように点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに
x
軸,水平方向に
y
軸をとり,
x
軸から測った棒の角度を
θ
とする(図の反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため,
θ
は時間の関数
θ(t)
である.
棒の長さ(質点の回転半径)を
L
とすると,
z
成分も含めた質点 P の位置は
r
=
(x
,
y
,
z)
=
(
Lcosθ
,
Lsinθ
,
0
)
- - - (1)
と表せるので,質点の速度
v
は
v=
(
vx
,
vy
,
vz
)
=
dr
dt
=
(
−Lsinθ
dθ
dt
,
Lcosθ
dθ
dt
,
0
)
- - - (2)
となる.したがって,点 O のまわりの質点のもつ角運動量
L
は
L
=r×p
=r×mv
=
(
Lcosθ
,
Lsinθ
,
0
)
×m
(
−Lsinθ
dθ
dt
,
Lcosθ
dθ
dt
,
0
)
=
(
0
,
0
,
mL2
(
cos2θ
+sin2θ
)
dθ
dt
)
=
(
0
,
0
,
mL2
dθ
dt
)
- - - (3)
となる(ここで,スカラー量
L
は棒の長さであり,角運動量
L
の大きさではないことに注意).一方,質点に作用する力
F
は重力
W=
(
mg
,
0
,
0
)
と棒からの力
S=
(
−Scosθ
,
−Ssinθ
,
0
)
との合力であり,棒からの力
S
は位置ベクトル
r
と平行である(
r×S=0
)ので,点 O のまわりの力のモーメント
N
は
N
=r×F
=r×
(
W+S
)
=r×W
=
(
Lcosθ
,
Lsinθ
,
0
)
×
(
mg
,
0
,
0
)
=
(
0
,
0
,
−mgLsinθ
)
- - - (4)
となる.回転運動の法則
dL
dt
=N
より
(
0
,
0
,
mL2
d2θ
dt2
)
=
(
0
,
0
,
−mgLsinθ
)
- - - (5)
であるので,
z
成分を取り出して両辺を
L
で割ると,単振り子の運動方程式(の接線方向成分)
mL
d2θ
dt2
=−mgsinθ
- - - (6)
が得られる.
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