単振り子 : 運動方程式 (equation of motion) [ 回転運動の法則から導出 ]

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した棒の先端に質量 m の質点を取り付けた単振り子について,図のように点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに x 軸,水平方向に y 軸をとり, x 軸から測った棒の角度を θ とする(図の反時計回りに回転する角の向きを正にとる).質点が円周に沿って運動するとこの角度は時々刻々変化するため, θ は時間の関数 θ(t) である.

棒の長さ(質点の回転半径)を L とすると, z 成分も含めた質点 P の位置は

r = (x , y , z) = ( Lcosθ , Lsinθ , 0 )     - - - (1)

と表せるので,質点の速度 v

v= ( vx , vy , vz ) = dr dt
   = ( Lsinθ dθ dt , Lcosθ dθ dt , 0 )     - - - (2)

となる.したがって,点 O のまわりの質点のもつ角運動量 L

L =r×p =r×mv = ( Lcosθ , Lsinθ , 0 ) ×m ( Lsinθ dθ dt , Lcosθ dθ dt , 0 )
   = ( 0 , 0 , mL2 ( cos2θ +sin2θ ) dθ dt ) = ( 0 , 0 , mL2 dθ dt )     - - - (3)

となる(ここで,スカラー量 L は棒の長さであり,角運動量 L の大きさではないことに注意).一方,質点に作用する力 F は重力 W= ( mg , 0 , 0 ) と棒からの力 S= ( Scosθ , Ssinθ , 0 ) との合力であり,棒からの力 S は位置ベクトル r と平行である( r×S=0 )ので,点 O のまわりの力のモーメント N

N =r×F =r× ( W+S ) =r×W = ( Lcosθ , Lsinθ , 0 ) × ( mg , 0 , 0 )
   = ( 0 , 0 , mgLsinθ )     - - - (4)

となる.回転運動の法則  dL dt =N  より

( 0 , 0 , mL2 d2θ dt2 ) = ( 0 , 0 , mgLsinθ )     - - - (5)

であるので, z 成分を取り出して両辺を L で割ると,単振り子の運動方程式(の接線方向成分)

mL d2θ dt2 =mgsinθ     - - - (6)

が得られる.


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