微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ.

y= 4 x 2 3

■答

y = 2x 3 4 x 2 2 3

■ヒント

合成関数の微分より

{ f( g( x ) ) } = f ( g( x ) ) g ( x )

dy dx = dy du du dx

の公式を用いる.

■解説

y= 4 x 2 3

(計算しやすいように,式を 指数を用いた形に変形する)

= ( 4 x 2 ) 1 3

4 x 2 3 = ( 4 x 2 ) 1 3

y = f ( u ) = u 1 3 u = g ( x ) = 4 x 2

とおくと

y = f ( g ( x ) )

となる.

合成関数の公式を適用すると

y = 1 3 ( 4 x 2 ) 1 3 1 ( 4 x 2 )

(基本となる関数の導関数を参照)

= 1 3 ( 4 x 2 ) 2 3 · ( 2 x ) = 2 x 3 ( 4 x 2 ) 2 3

●別解

y = 4 x 2 3

y = u 3 u = 4 x 2

とおく

d y d u = d d u u 3 = d d u ( u 1 3 ) = 1 3 u 2 3

d u d x = d d x 4 x 2 = 2 x

よって

d y d x = d y d u · d u d x = 1 3 u 2 3 · ( 2 x ) = 1 3 ( 4 x 2 ) 2 3 ( 2 x )

u = 4 x 2 と置き換えていたのを元に戻す)

= 2 x 3 ( 4 x 2 ) 2 3

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最終更新日: 2023年10月9日